傾斜角 $\theta$ の斜面上に質量 $m$ の物体が静止している。時刻 $t=0$ で物体が滑り始めた。重力加速度の大きさを $g$, 動摩擦係数を $\mu$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) 斜面の静止摩擦係数がある値より小さいことを示し、その値を求めよ。 (2) 左辺を $m\ddot{x}$ として運動方程式を示せ。 (3) 以下の各問に $g$, $m$, $\mu$, $t$ のうち必要なものを用いて答えよ。ただし、時刻 $t$ は物体が滑っている間の時間とする。 i. 速度 $v(t)$ を示せ。 ii. 位置 $x(t)$ を示せ。 iii. 時刻 $t$ のときの運動エネルギー $K$ を示せ。 iv. 時刻ゼロから時刻 $t$ までに動摩擦力のした仕事 $W_1$ と重力のした仕事 $W_2$ を示せ。 v. $K$, $W_1$, $W_2$ の間に成り立つ関係式を示せ。

1. 問題の内容

傾斜角 $\theta$ の斜面上に質量 $m$ の物体が静止している。時刻 $t=0$ で物体が滑り始めた。重力加速度の大きさを $g$, 動摩擦係数を $\mu$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 斜面の静止摩擦係数がある値より小さいことを示し、その値を求めよ。

(2) 左辺を $m\ddot{x}$ として運動方程式を示せ。

(3) 以下の各問に $g$, $m$, $\mu$, $t$ のうち必要なものを用いて答えよ。ただし、時刻 $t$ は物体が滑っている間の時間とする。

i. 速度 $v(t)$ を示せ。

ii. 位置 $x(t)$ を示せ。

iii. 時刻 $t$ のときの運動エネルギー $K$ を示せ。

iv. 時刻ゼロから時刻 $t$ までに動摩擦力のした仕事 $W_1$ と重力のした仕事 $W_2$ を示せ。

v. $K$, $W_1$, $W_2$ の間に成り立つ関係式を示せ。

2. 解き方の手順

(1) 物体が滑り出す条件は、重力の斜面方向成分が最大静止摩擦力よりも大きいことである。つまり、

$mg\sin\theta > \mu_s mg\cos\theta$

したがって、静止摩擦係数 $\mu_s$ は $\tan\theta$ より小さくなければならない。問題文より、$\mu$ はある値より小さいとあるので、これは動摩擦係数 $\mu$ のことである。したがって、

$\mu < \tan\theta$

(2) 物体にはたらく力は、重力 $mg$, 垂直抗力 $N$, 動摩擦力 $f$ である。斜面下向きを正とする $x$ 軸に沿った運動方程式は、

$m\ddot{x} = mg\sin\theta - f = mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta$

よって、

$m\ddot{x} = mg(\sin\theta - \mu\cos\theta)$

(3)

i. 加速度 $\ddot{x}$ は一定なので、等加速度運動である。$\ddot{x} = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$ より、

$v(t) = \int \ddot{x} dt = \int g(\sin\theta - \mu\cos\theta) dt = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)t + C$

初期条件 $v(0) = 0$ より、$C = 0$。したがって、

$v(t) = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)t$

ii. 位置 $x(t)$ は、

$x(t) = \int v(t) dt = \int g(\sin\theta - \mu\cos\theta)t dt = \frac{1}{2}g(\sin\theta - \mu\cos\theta)t^2 + C'$

初期条件 $x(0) = 0$ より、$C' = 0$。したがって、

$x(t) = \frac{1}{2}g(\sin\theta - \mu\cos\theta)t^2$

iii. 運動エネルギー $K$ は、

$K = \frac{1}{2}mv(t)^2 = \frac{1}{2}m [g(\sin\theta - \mu\cos\theta)t]^2 = \frac{1}{2}mg^2(\sin\theta - \mu\cos\theta)^2t^2$

iv. 動摩擦力のした仕事 $W_1$ は、動摩擦力 $f = \mu mg\cos\theta$ が $x(t)$ だけ移動したときにされる仕事なので、

$W_1 = -fx(t) = -(\mu mg\cos\theta) \frac{1}{2}g(\sin\theta - \mu\cos\theta)t^2 = -\frac{1}{2}\mu m g^2\cos\theta(\sin\theta - \mu\cos\theta)t^2$

重力のした仕事 $W_2$ は、重力の斜面方向成分 $mg\sin\theta$ が $x(t)$ だけ移動したときにされる仕事なので、

$W_2 = (mg\sin\theta)x(t) = (mg\sin\theta) \frac{1}{2}g(\sin\theta - \mu\cos\theta)t^2 = \frac{1}{2}m g^2\sin\theta(\sin\theta - \mu\cos\theta)t^2$

v. エネルギー保存則より、$K = W_1 + W_2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\mu < \tan\theta$

(2) $m\ddot{x} = mg(\sin\theta - \mu\cos\theta)$

(3)

i. $v(t) = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)t$

ii. $x(t) = \frac{1}{2}g(\sin\theta - \mu\cos\theta)t^2$

iii. $K = \frac{1}{2}mg^2(\sin\theta - \mu\cos\theta)^2t^2$

iv. $W_1 = -\frac{1}{2}\mu m g^2\cos\theta(\sin\theta - \mu\cos\theta)t^2$, $W_2 = \frac{1}{2}m g^2\sin\theta(\sin\theta - \mu\cos\theta)t^2$

v. $K = W_1 + W_2$