質量 $m$ の質点が、時刻 $t=0$ に位置 $(0,0)$ から初速度 $(b, c)$ で投げ上げられた。$z$ 軸を鉛直上向きにとり、質点にはたらく力は重力 $(0, -mg)$ のみである。以下の問いに答えよ。ただし、空気抵抗は無視できるとする。 (1) 加速度 $(\ddot{x}, \ddot{z})$ を示せ。 (2) 速度 $(\dot{x}, \dot{z})$ を示せ。 (3) 位置 $(x, z)$ を示せ。 (4) 質点の最高点の位置 $(x, z)$ を示せ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、時刻 $t=0$ に位置 $(0,0)$ から初速度 $(b, c)$ で投げ上げられた。$z$ 軸を鉛直上向きにとり、質点にはたらく力は重力 $(0, -mg)$ のみである。以下の問いに答えよ。ただし、空気抵抗は無視できるとする。

(1) 加速度 $(\ddot{x}, \ddot{z})$ を示せ。

(2) 速度 $(\dot{x}, \dot{z})$ を示せ。

(3) 位置 $(x, z)$ を示せ。

(4) 質点の最高点の位置 $(x, z)$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1) 加速度 $(\ddot{x}, \ddot{z})$

運動方程式は以下の通りである。

$m\ddot{x} = 0$

$m\ddot{z} = -mg$

したがって、加速度は以下の通りである。

$\ddot{x} = 0$

$\ddot{z} = -g$

加速度ベクトルは、

$(\ddot{x}, \ddot{z}) = (0, -g)$

(2) 速度 $(\dot{x}, \dot{z})$

加速度を時間 $t$ で積分すると速度が得られる。初期条件 $\dot{x}(0) = b$, $\dot{z}(0) = c$ を用いる。

$\dot{x} = \int \ddot{x} dt = \int 0 dt = C_1$

初期条件より、$\dot{x}(0) = b = C_1$

よって、$\dot{x} = b$

$\dot{z} = \int \ddot{z} dt = \int -g dt = -gt + C_2$

初期条件より、$\dot{z}(0) = c = -g(0) + C_2 = C_2$

よって、$\dot{z} = -gt + c$

速度ベクトルは、

$(\dot{x}, \dot{z}) = (b, -gt + c)$

(3) 位置 $(x, z)$

速度を時間 $t$ で積分すると位置が得られる。初期条件 $x(0) = 0$, $z(0) = 0$ を用いる。

$x = \int \dot{x} dt = \int b dt = bt + C_3$

初期条件より、$x(0) = 0 = b(0) + C_3 = C_3$

よって、$x = bt$

$z = \int \dot{z} dt = \int (-gt + c) dt = -\frac{1}{2}gt^2 + ct + C_4$

初期条件より、$z(0) = 0 = -\frac{1}{2}g(0)^2 + c(0) + C_4 = C_4$

よって、$z = -\frac{1}{2}gt^2 + ct$

位置ベクトルは、

$(x, z) = (bt, -\frac{1}{2}gt^2 + ct)$

(4) 質点の最高点の位置 $(x, z)$

最高点では、鉛直方向の速度がゼロになる。すなわち、$\dot{z} = 0$ となる時刻を求める。

$\dot{z} = -gt + c = 0$

$t = \frac{c}{g}$

この時刻における位置を求める。

$x = b(\frac{c}{g}) = \frac{bc}{g}$

$z = -\frac{1}{2}g(\frac{c}{g})^2 + c(\frac{c}{g}) = -\frac{1}{2}\frac{c^2}{g} + \frac{c^2}{g} = \frac{1}{2}\frac{c^2}{g}$

したがって、最高点の位置は、

$(x, z) = (\frac{bc}{g}, \frac{c^2}{2g})$

3. 最終的な答え

(1) 加速度: $(0, -g)$

(2) 速度: $(b, -gt + c)$

(3) 位置: $(bt, -\frac{1}{2}gt^2 + ct)$

(4) 最高点の位置: $(\frac{bc}{g}, \frac{c^2}{2g})$