(4) 10枚のコインを投げたとき、裏が出る枚数が2枚以下である確率を求めます。 (5) 数直線上の原点に点Pがあります。サイコロを投げて4以下の目が出ればPを左に1、5以上の目が出ればPを右に2移動させます。6回サイコロを投げたとき、点Pが原点にある確率を求めます。

1. 問題の内容

(4) 10枚のコインを投げたとき、裏が出る枚数が2枚以下である確率を求めます。

(5) 数直線上の原点に点Pがあります。サイコロを投げて4以下の目が出ればPを左に1、5以上の目が出ればPを右に2移動させます。6回サイコロを投げたとき、点Pが原点にある確率を求めます。

2. 解き方の手順

(4)

10枚のコインを投げたとき、裏が出る枚数が0枚, 1枚, 2枚の場合の確率をそれぞれ求め、それらを足し合わせます。コインを投げる試行は独立であり、それぞれのコインの裏が出る確率は $1/2$ です。

- 裏が0枚の場合：表が10枚出る場合。確率は $_{10}C_0 (1/2)^{10} = 1/1024$。

- 裏が1枚の場合：表が9枚、裏が1枚出る場合。確率は $_{10}C_1 (1/2)^{10} = 10/1024$。

- 裏が2枚の場合：表が8枚、裏が2枚出る場合。確率は $_{10}C_2 (1/2)^{10} = (10 \times 9 / 2) / 1024 = 45/1024$。

したがって、求める確率は $(1 + 10 + 45) / 1024 = 56/1024 = 7/128$。

(5)

サイコロを投げる回数は6回です。4以下の目が出る回数を$x$回、5以上の目が出る回数を$y$回とします。このとき、

$x + y = 6$

点Pが原点にあるためには、左への移動距離と右への移動距離が等しくなければなりません。すなわち、

$-x + 2y = 0$

$x = 2y$

これを $x + y = 6$ に代入すると、

$2y + y = 6$

$3y = 6$

$y = 2$

$x = 4$

したがって、4以下の目が4回、5以上の目が2回出ればよいことになります。

サイコロを投げたとき、4以下の目が出る確率は $4/6 = 2/3$、5以上の目が出る確率は $2/6 = 1/3$ です。

求める確率は、6回の試行のうち4回4以下の目が出て、2回5以上の目が出る確率なので、

$_{6}C_4 (2/3)^4 (1/3)^2 = _{6}C_2 (2/3)^4 (1/3)^2 = (6 \times 5 / 2) \times (16/81) \times (1/9) = 15 \times 16 / 729 = 240/729 = 80/243$。

3. 最終的な答え

(4) $7/128$

(5) $80/243$