九九の表の一部を省略したものが与えられている。連続する3つのます目を縦に黒く塗り、その数を上から順に $a$, $b$, $c$ とする。 (1) $a+c$ を $b$ の式で表す。 (2) $a+b+c = 48$ となるような塗り方をすべて求め、表のます目を黒く塗って示す。

1. 問題の内容

九九の表の一部を省略したものが与えられている。連続する3つのます目を縦に黒く塗り、その数を上から順に $a$, $b$, $c$ とする。

(1) $a+c$ を $b$ の式で表す。

(2) $a+b+c = 48$ となるような塗り方をすべて求め、表のます目を黒く塗って示す。

2. 解き方の手順

(1) 九九の表において、縦に連続する3つの数は、ある数 $x$ に対して、$x$, $2x$, $3x$ のように $x$ の整数倍となる。

$a$ はある数 $x$ で表され、$b$ は $a$ の下の数なので $a+x$ と表され、$c$ は $b$ の下の数なので $b+x = a+2x$ と表される。

したがって、$a=x$, $b=a+x$, $c=a+2x$ と表せる。

$a+c = x+(x+2x)=2x+2x=2(a+x)=2b$ となる。

(2) $a+b+c = 48$ という条件がある。

(1)より、$a+c = 2b$ なので、$2b+b = 3b = 48$。

したがって、$b = 48/3 = 16$。

九九の表の中で 16 になるのは、 $2 \times 8 = 16$ と $8 \times 2 = 16$ の2通り。

$2 \times 8$ の場合、$a = 8$, $b = 16$, $c = 24$。このとき $a+b+c = 8+16+24 = 48$ となる。

$8 \times 2$ の場合、$a = 16$, $b = 32$, $c = 48$。このとき $a+b+c = 16+32+48 = 96 \neq 48$ となるため不適。

したがって、黒く塗る3つの数字は、上から順に 8, 16, 24 となる。

3. 最終的な答え

(1) $a+c = 2b$

(2) 黒く塗る数字は、上から順に 8, 16, 24 (つまり、2行目の8, 3行目の8, 4行目の6)