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0が1枚、1が2枚、2が3枚、3が4枚のカードがある。これらのカードから4枚を選び、4桁の整数を作る。 (1) 10で割り切れる整数の個数を求める。 (2) どの桁の数字も0でない整数の個数を求める。 (3) すべての整数の個数を求める。

算数組み合わせ順列場合の数
2025/7/13

1. 問題の内容

0が1枚、1が2枚、2が3枚、3が4枚のカードがある。これらのカードから4枚を選び、4桁の整数を作る。
(1) 10で割り切れる整数の個数を求める。
(2) どの桁の数字も0でない整数の個数を求める。
(3) すべての整数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 10で割り切れる整数は、一の位が0である。
一の位を0で固定し、残りの千の位、百の位、十の位に1,2,3のカードを並べる。
千の位には0以外の数字が入る。
* 千の位が1の場合：百の位と十の位は2と3を並べるので 2×1=22 \times 1 = 2 通り。
* 千の位が2の場合：百の位と十の位は1と3を並べるので 2×1=22 \times 1 = 2 通り。
* 千の位が3の場合：百の位と十の位は1と2を並べるので 2×1=22 \times 1 = 2 通り。
よって、2+2+2=62+2+2 = 6通り。
(2) どの桁の数字も0でない整数なので、1,2,3のカードのみを使う。
1が2枚、2が3枚、3が4枚あるので、4枚選ぶ組み合わせを考える。
* 1が2枚, 2が2枚の場合：4!2!2!=244=6\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6通り
* 1が2枚, 2が1枚, 3が1枚の場合：4!2!=242=12\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12通り
* 1が2枚, 3が2枚の場合：4!2!2!=244=6\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6通り
* 1が1枚, 2が3枚の場合：4!3!=246=4\frac{4!}{3!} = \frac{24}{6} = 4通り
* 1が1枚, 2が2枚, 3が1枚の場合：4!2!=242=12\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12通り
* 1が1枚, 3が3枚の場合：4!3!=246=4\frac{4!}{3!} = \frac{24}{6} = 4通り
* 2が4枚の場合：4!4!=1\frac{4!}{4!} = 1通り
* 2が3枚, 3が1枚の場合：4!3!=246=4\frac{4!}{3!} = \frac{24}{6} = 4通り
* 2が2枚, 3が2枚の場合：4!2!2!=244=6\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6通り
* 3が4枚の場合：4!4!=1\frac{4!}{4!} = 1通り
合計は、6+12+6+4+12+4+1+4+6+1=566+12+6+4+12+4+1+4+6+1 = 56通り。
(3) すべての整数の個数を求める。
使えるカードは0,1,1,2,2,2,3,3,3,3。
まず、すべての並べ方を考え、千の位が0になるものを引く。
すべての並べ方の総数は、
4!1!2!3!4!=11\frac{4!}{1!2!3!4!} = \frac{1}{1}
一見すると階乗で計算できそうに見えるが、同じ数字のカードがあるため単純には計算できない。
千の位を固定して考える。
* 千の位が1の場合：残りの3つの位の数字の組み合わせは0,2,3; 1,2,3; 2,2,3; 2,3,3。
* 0,2,3の場合: 3!=63!=6通り
* 1,2,3の場合: 3!=63!=6通り
* 2,2,3の場合: 3!2!=3\frac{3!}{2!} = 3通り
* 2,3,3の場合: 3!2!=3\frac{3!}{2!} = 3通り
よって、6+6+3+3=186+6+3+3 = 18通り
* 千の位が2の場合：残りの3つの位の数字の組み合わせは0,1,3; 1,1,3; 1,3,3; 0,2,3; 2,3,3
* 0,1,3の場合: 3!=63!=6通り
* 1,1,3の場合: 3!2!=3\frac{3!}{2!} = 3通り
* 1,3,3の場合: 3!2!=3\frac{3!}{2!} = 3通り
* 0,2,3の場合: 3!=63!=6通り
* 2,3,3の場合: 3!2!=3\frac{3!}{2!} = 3通り
よって、6+3+3+6+3=216+3+3+6+3 = 21通り
* 千の位が3の場合：残りの3つの位の数字の組み合わせは0,1,2; 1,1,2; 1,2,2; 0,2,3; 0,3,3; 1,2,3; 2,2,3; 2,3,3
* 0,1,2の場合: 3!=63!=6通り
* 1,1,2の場合: 3!2!=3\frac{3!}{2!} = 3通り
* 1,2,2の場合: 3!2!=3\frac{3!}{2!} = 3通り
* 0,1,3の場合: 3!=63!=6通り
* 0,2,3の場合: 3!=63!=6通り
* 0,3,3の場合: 3!2!=3\frac{3!}{2!} = 3通り
* 1,2,3の場合: 3!=63!=6通り
* 2,2,3の場合: 3!2!=3\frac{3!}{2!} = 3通り
* 2,3,3の場合: 3!2!=3\frac{3!}{2!} = 3通り
よって、6+3+3+6+6+3+6+3+3=396+3+3+6+6+3+6+3+3 = 39通り
千の位が0の場合を考える。
残りの3つの位に1,2,3を入れる。
この並べ方は(1,2,3), (1,1,2), (1,2,2), (2,2,2), (1,1,3), (1,3,3), (2,2,3), (2,3,3), (3,3,3)がある。
3!1!1!1!+3!2!1!×3+3!3!+3!1!2!+3!3!=6+9+1+3+1=20\frac{3!}{1!1!1!} + \frac{3!}{2!1!} \times 3 + \frac{3!}{3!} + \frac{3!}{1!2!} + \frac{3!}{3!} = 6 + 9 + 1 + 3 + 1= 20
すべての整数の個数は 18+21+39=7818+21+39=78通り
千の位が0である並べ方を計算。
残りの3つの数字の組み合わせ
{1,2,3}, {1,1,2}, {1,2,2}, {2,2,2}, {1,1,3}, {1,3,3}, {2,2,3}, {2,3,3}, {3,3,3}

3. 最終的な答え

(1) 6個
(2) 56個
(3) 78個

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