$1 + \sqrt{10}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $a, b$ (2) $b + \frac{1}{b}, b^2 + \frac{1}{b^2}$

1. 問題の内容

$1 + \sqrt{10}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $a, b$

(2) $b + \frac{1}{b}, b^2 + \frac{1}{b^2}$

2. 解き方の手順

(1) $a, b$ を求める。

まず、$\sqrt{10}$ の値を考えます。$\sqrt{9} = 3$ で $\sqrt{16} = 4$ なので、$3 < \sqrt{10} < 4$ であることがわかります。

したがって、$\sqrt{10}$ の整数部分は 3 です。

$1 + \sqrt{10}$ の整数部分 $a$ は、 $1 + 3 = 4$ なので、$a = 4$ です。

小数部分 $b$ は、$b = (1 + \sqrt{10}) - a = (1 + \sqrt{10}) - 4 = \sqrt{10} - 3$ です。

(2) $b + \frac{1}{b}, b^2 + \frac{1}{b^2}$ を求める。

$b = \sqrt{10} - 3$ なので、

$\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{10} - 3} = \frac{\sqrt{10} + 3}{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)} = \frac{\sqrt{10} + 3}{10 - 9} = \sqrt{10} + 3$

したがって、

$b + \frac{1}{b} = (\sqrt{10} - 3) + (\sqrt{10} + 3) = 2\sqrt{10}$

次に、$b^2 + \frac{1}{b^2}$ を求めます。

$(b + \frac{1}{b})^2 = b^2 + 2 + \frac{1}{b^2}$ より、

$b^2 + \frac{1}{b^2} = (b + \frac{1}{b})^2 - 2$

$b + \frac{1}{b} = 2\sqrt{10}$ なので、

$b^2 + \frac{1}{b^2} = (2\sqrt{10})^2 - 2 = 4 \cdot 10 - 2 = 40 - 2 = 38$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, b = \sqrt{10} - 3$

(2) $b + \frac{1}{b} = 2\sqrt{10}, b^2 + \frac{1}{b^2} = 38$