6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から、異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、以下の問いに答えます。 (1) 4桁の整数は何個できるか。 (2) 偶数は何個できるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から、異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、以下の問いに答えます。

(1) 4桁の整数は何個できるか。

(2) 偶数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数

4桁の整数を作る場合、千の位には0以外の数字が入ります。

- 千の位：0以外の5つの数字から1つ選ぶ (5通り)

- 百の位：残りの5つの数字から1つ選ぶ (5通り)

- 十の位：残りの4つの数字から1つ選ぶ (4通り)

- 一の位：残りの3つの数字から1つ選ぶ (3通り)

したがって、4桁の整数は $5 \times 5 \times 4 \times 3$ 個できます。

(2) 偶数

偶数を作る場合、一の位が偶数（0, 2, 4）である必要があります。ここで場合分けをします。

(i) 一の位が0の場合：

- 一の位：0 (1通り)

- 千の位：残りの5つの数字から1つ選ぶ (5通り)

- 百の位：残りの4つの数字から1つ選ぶ (4通り)

- 十の位：残りの3つの数字から1つ選ぶ (3通り)

この場合、偶数は $1 \times 5 \times 4 \times 3$ 個できます。

(ii) 一の位が2または4の場合：

- 一の位：2または4 (2通り)

- 千の位：0と一の位で使用した数字以外の4つの数字から1つ選ぶ (4通り)

- 百の位：残りの4つの数字から1つ選ぶ (4通り)

- 十の位：残りの3つの数字から1つ選ぶ (3通り)

この場合、偶数は $2 \times 4 \times 4 \times 3$ 個できます。

したがって、偶数の総数は、(i) + (ii) で求まります。

3. 最終的な答え

(1) 4桁の整数：

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個

(2) 偶数：

(i) 一の位が0の場合：$1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60$ 個

(ii) 一の位が2または4の場合：$2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$ 個

偶数の総数：$60 + 96 = 156$ 個

答え：

(1) 300個

(2) 156個