$\sqrt{\frac{756}{n}}$ が自然数になるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{756}{n}}$ が自然数になるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{756}{n}}$ が自然数になるためには、$\frac{756}{n}$ がある自然数の2乗になる必要があります。

まずは756を素因数分解します。

$756 = 2^2 \times 3^3 \times 7$

$\frac{756}{n} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 7}{n}$

$\frac{756}{n}$ がある自然数の2乗になるためには、$n$ が $3 \times 7 \times k^2$ の形である必要があります。ここで、$k$ は自然数です。

このとき、

$\frac{756}{n} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 7}{3 \times 7 \times k^2} = \frac{2^2 \times 3^2}{k^2} = (\frac{2 \times 3}{k})^2 = (\frac{6}{k})^2$

$\frac{6}{k}$ が整数となるためには、$k$ は 6 の約数である必要があります。

6 の約数は 1, 2, 3, 6 です。

したがって、$k = 1, 2, 3, 6$ に対応する $n$ を計算します。

$k=1$ のとき、$n = 3 \times 7 \times 1^2 = 21$

$k=2$ のとき、$n = 3 \times 7 \times 2^2 = 3 \times 7 \times 4 = 84$

$k=3$ のとき、$n = 3 \times 7 \times 3^2 = 3 \times 7 \times 9 = 189$

$k=6$ のとき、$n = 3 \times 7 \times 6^2 = 3 \times 7 \times 36 = 756$

3. 最終的な答え

$n = 21, 84, 189, 756$