Aは毎分70m、Bは毎分60mで歩く。1周650mの池の周りを、同じ地点からAは右回り、Bは左回りに同時に出発する。2人が2回目に出会う地点は最初の出発点から何m離れているか。

## 数学の問題の解答

### 問題 4

1. 問題の内容

Aは毎分70m、Bは毎分60mで歩く。1周650mの池の周りを、同じ地点からAは右回り、Bは左回りに同時に出発する。2人が2回目に出会う地点は最初の出発点から何m離れているか。

2. 解き方の手順

* 2人が1回目に出会うまでの時間：池の周の長さ ÷ (Aの速さ + Bの速さ) = $650 / (70+60) = 650/130 = 5$ 分

* 2人が2回目に出会うまでの時間：1回目に出会うまでの時間 × 2 = $5 \times 2 = 10$ 分

* Aが10分間に進む距離：Aの速さ × 時間 = $70 \times 10 = 700$ m

* Aが10分間に進んだ距離は、池の周の長さよりも大きいので、最初の出発点からの距離は $700 - 650 = 50$ m

3. 最終的な答え

50 m

### 問題 5

1. 問題の内容

2%の食塩水と8%の食塩水をそれぞれ何gかずつ混ぜて6%の食塩水180gを作った。このときの2%の食塩水と8%の食塩水の量を逆にして混ぜると、何%の食塩水ができるか。

2. 解き方の手順

* 2%の食塩水と8%の食塩水をそれぞれ $x$ gずつ混ぜるとする。

$x + x = 180$

$2x = 180$

$x = 90$

* 2%の食塩水と8%の食塩水をそれぞれ90gずつ混ぜて6%の食塩水180gができる。

* 2%の食塩水90gと8%の食塩水90gを逆にして混ぜると、8%の食塩水90gと2%の食塩水90gを混ぜることになる。

* 食塩水の濃度 = (食塩の量 / 食塩水全体の量) × 100

* 8%の食塩水90gに含まれる食塩の量 = $90 \times 0.08 = 7.2$ g

* 2%の食塩水90gに含まれる食塩の量 = $90 \times 0.02 = 1.8$ g

* 混ぜた後の食塩水全体の量 = $90 + 90 = 180$ g

* 混ぜた後の食塩の量 = $7.2 + 1.8 = 9$ g

* 混ぜた後の食塩水の濃度 = $(9 / 180) \times 100 = 5$ %

3. 最終的な答え

5 %

### 問題 6

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4から異なる4個の数字を選んで4桁の整数を作るとき、偶数はいくつできるか。

2. 解き方の手順

* 一の位が偶数である必要がある。偶数は0, 2, 4の3つ。

* 千の位は0以外なので注意。

* (i) 一の位が0の場合：

* 千の位は0以外の4通り。百の位は残りの3通り。十の位は残りの2通り。

* $4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り

* (ii) 一の位が2または4の場合：

* 一の位は2通り。

* 千の位は0と一の位の数以外なので3通り。

* 百の位は残りの3通り。十の位は残りの2通り。

* $2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$ 通り

* 合計： $24 + 36 = 60$ 通り

3. 最終的な答え

60 個

### 問題 7 (1)

1. 問題の内容

男子4人、女子3人の合計7人から3人を選ぶとき、男子2人、女子1人を選ぶ方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* 男子4人から2人を選ぶ組み合わせ: $4C2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

* 女子3人から1人を選ぶ組み合わせ: $3C1 = 3$ 通り

* 男子2人、女子1人を選ぶ組み合わせ: $6 \times 3 = 18$ 通り

3. 最終的な答え

18 通り

### 問題 7 (2)

1. 問題の内容

男子4人、女子3人の合計7人から3人を選ぶとき、男子を少なくとも1人選ぶ方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* 3人を選ぶすべての組み合わせ: $7C3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り

* 女子3人だけを選ぶ組み合わせ: $3C3 = 1$ 通り

* 男子を少なくとも1人選ぶ組み合わせ: 3人を選ぶすべての組み合わせ - 女子3人だけを選ぶ組み合わせ = $35 - 1 = 34$ 通り

3. 最終的な答え

34 通り

### 問題 8

1. 問題の内容

一辺8cmの正四面体において、点Dから三角形ABCに下ろした垂線DHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

* $\triangle ABC$ は正三角形なので、その面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = 16\sqrt{3}$

* $H$は正三角形$\triangle ABC$の重心である

* $AH = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

* $\triangle DAH$ は直角三角形なので、三平方の定理より $DH^2 = AD^2 - AH^2$

* $DH^2 = 8^2 - (\frac{8\sqrt{3}}{3})^2 = 64 - \frac{64 \times 3}{9} = 64 - \frac{64}{3} = \frac{128}{3}$

* $DH = \sqrt{\frac{128}{3}} = \sqrt{\frac{64 \times 2}{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8\sqrt{6}}{3}$ cm