問題142は、68600を素因数分解し、その結果を用いて $\sqrt{68600x}$ が正の整数となる最小の正の整数 $x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題142は、68600を素因数分解し、その結果を用いて $\sqrt{68600x}$ が正の整数となる最小の正の整数 $x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、68600を素因数分解します。

$68600 = 686 \times 100 = 2 \times 343 \times 100 = 2 \times 7^3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^3 \times 5^2 \times 7^3$

したがって、

$68600 = 2^3 \times 5^2 \times 7^3$

次に、$\sqrt{68600x} = \sqrt{2^3 \times 5^2 \times 7^3 \times x}$ が正の整数となるような最小の $x$ を求めます。$\sqrt{ }$ の中身が平方数になる必要があるので、$x$ は $2$ と $7$ を少なくとも1つずつ含む必要があります。したがって、$x = 2 \times 7 = 14$ となります。

このとき、

$\sqrt{68600x} = \sqrt{2^3 \times 5^2 \times 7^3 \times 2 \times 7} = \sqrt{2^4 \times 5^2 \times 7^4} = 2^2 \times 5 \times 7^2 = 4 \times 5 \times 49 = 20 \times 49 = 980$

3. 最終的な答え

$68600 = 2^3 \times 5^2 \times 7^3$

$x = 14$