Aは毎分70m、Bは毎分60mで池の周りを歩く。池の周は650m。同じ地点からAは右回り、Bは左回りに同時に出発し、2回目に出会う地点は最初の出発点から何m離れているか。

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4. 池の周りの移動問題

1. 問題の内容

Aは毎分70m、Bは毎分60mで池の周りを歩く。池の周は650m。同じ地点からAは右回り、Bは左回りに同時に出発し、2回目に出会う地点は最初の出発点から何m離れているか。

2. 解き方の手順

まず、2人が初めて出会うまでに進む距離の合計は池の周の長さ650m。2回目に出会うまでに進む距離の合計は池の周の長さの2倍の $650 \times 2 = 1300$ m。

AとBの速さの比は $70:60 = 7:6$。

したがって、2回目に出会うまでにAが進む距離は $1300 \times \frac{7}{7+6} = 1300 \times \frac{7}{13} = 700$ m。

Aは1周650mの池を700m進むので、出発点から $700 - 650 = 50$ mの地点で出会う。

3. 最終的な答え

50 m

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5. 食塩水の問題

1. 問題の内容

2%の食塩水と8%の食塩水をそれぞれ何gかずつ混ぜて6%の食塩水180gを作った。このときの2%の食塩水と8%の食塩水の量を逆にして混ぜると、何%の食塩水ができるか。

2. 解き方の手順

2%の食塩水の量をx g、8%の食塩水の量をy gとする。

$x + y = 180$

$0.02x + 0.08y = 0.06 \times 180$

$0.02x + 0.08y = 10.8$

上の式を2倍すると

$x + 4y = 540$

$x + y = 180$

辺々引くと

$3y = 360$

$y = 120$

$x = 180 - 120 = 60$

したがって、2%の食塩水は60g、8%の食塩水は120g。

逆にして混ぜると、2%の食塩水を120g、8%の食塩水を60g混ぜることになる。

この時の食塩水の濃度をz%とすると、

$\frac{0.02 \times 120 + 0.08 \times 60}{180} = \frac{z}{100}$

$\frac{2.4 + 4.8}{180} = \frac{z}{100}$

$\frac{7.2}{180} = \frac{z}{100}$

$z = \frac{7.2 \times 100}{180} = \frac{720}{180} = 4$

したがって、4%の食塩水ができる。

3. 最終的な答え

4 %

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6. 整数の問題

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4から異なる4個の数字を選んで4桁の整数を作るとき、偶数はいくつできるか。

2. 解き方の手順

4桁の整数のうち、偶数となるのは一の位が0, 2, 4のいずれかである場合。

(i) 一の位が0の場合

千の位は0以外の4通り、百の位は残りの3通り、十の位は残りの2通り。

$4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

(ii) 一の位が2または4の場合

千の位は0と一の位の数字以外の3通り、百の位は残りの3通り、十の位は残りの2通り。

$2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$通り。

合計は $24 + 36 = 60$通り。

3. 最終的な答え

60 個

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7. 組み合わせの問題

1. 問題の内容

男子4人、女子3人の合計7人から3人を選ぶとき、

(1)男子2人、女子1人を選ぶ方法は何通りあるか。

(2)男子を少なくとも1人選ぶ方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 男子2人、女子1人を選ぶ方法

男子4人から2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

女子3人から1人を選ぶ組み合わせは $_3C_1 = 3$通り。

したがって、男子2人、女子1人を選ぶ組み合わせは $6 \times 3 = 18$通り。

(2) 男子を少なくとも1人選ぶ方法

3人を選ぶ組み合わせの総数は $_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

男子を1人も選ばない場合、つまり女子3人を選ぶ組み合わせは $_3C_3 = 1$通り。

したがって、男子を少なくとも1人選ぶ方法は $35 - 1 = 34$通り。

3. 最終的な答え

(1) 18 通り

(2) 34 通り

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8. 立体の問題

1. 問題の内容

一辺が8cmの正四面体において、点Dから三角形ABCに下ろした垂線DHの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCは一辺が8cmの正三角形であるから、その面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = 16\sqrt{3}$ cm$^2$。

正四面体の体積は、底面積が正三角形ABC、高さがDHであるから、$\frac{1}{3} \times 16\sqrt{3} \times DH$。

一方、正四面体の体積は、一辺の長さがaのとき $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$で求められるので、一辺8cmの正四面体の体積は $\frac{\sqrt{2}}{12} \times 8^3 = \frac{512\sqrt{2}}{12} = \frac{128\sqrt{2}}{3}$ cm$^3$。

したがって、

$\frac{1}{3} \times 16\sqrt{3} \times DH = \frac{128\sqrt{2}}{3}$

$16\sqrt{3} \times DH = 128\sqrt{2}$

$DH = \frac{128\sqrt{2}}{16\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8\sqrt{6}}{3}$ cm