HOKKAIDOの8文字を横1列に並べて順列を作る。 (1) 順列の総数を求めよ。 (2) Kは隣り合うがOは隣り合わない順列の数を求めよ。ただし、Oは2つある。

1. 問題の内容

HOKKAIDOの8文字を横1列に並べて順列を作る。

(1) 順列の総数を求めよ。

(2) Kは隣り合うがOは隣り合わない順列の数を求めよ。ただし、Oは2つある。

2. 解き方の手順

(1) HOKKAIDOの8文字を並べる順列の総数を求める。

文字は8つなので、単純に8!を計算する。

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

(2) Kが隣り合い、Oが隣り合わない順列の数を求める。

まず、HOKKAIDOの８文字を並べた全体の順列の数（40320通り）から、Kが隣り合わない場合、またはOが隣り合う場合を引くことは難しいので、直接計算することを考える。

Kを1つの文字とみなして、(KO)HAAIDIと考える。Oは2つあるため、O同士は区別できない。

Kは必ず隣り合うので、Kをひとまとめにして、(KO)とする。

次にOが隣り合わないようにする。まず、(KO)HAAIDIの7文字を並べる。

ただし、Aが2つあるので、並べ方は $\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$通り。

次に、Oが隣り合わないようにするには、並んだ文字の間にOを挿入する。

(KO)HAAIDI の7文字の間と端の計8箇所から2箇所を選ぶ。

ただし、HAAIDI は並び順によって間が異なるので、注意が必要。

Oが隣り合わないように並べる方法は$_{8}C_{2}$ではない。

Oが隣り合わないようにするには、全体の順列からOが隣り合う場合を引く。

Kが隣り合ってOが隣り合う場合を計算する。Oを１つにまとめてOOとして、(KOO)HAAIDIの6文字を並べ、Aが2つあることを考慮すると、

$\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$通り。

Kが隣り合う総数は、Kを１つにまとめてKOとして、(KO)HAAIDOの7文字を並べる。AとOが2つずつあるので、

$\frac{7!}{2!2!} = \frac{5040}{4} = 1260$通り。

Kが隣り合い、Oが隣り合わないのは

$1260 - 360 = 900$通り。

3. 最終的な答え

(1) 40320

(2) 900