$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k}$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k}$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

与えられた和は等比数列の和です。

初項 $a = \frac{2}{15}$、公比 $r = \frac{1}{15}$、項数 $n$ の等比数列の和の公式を使います。

等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

です。

この問題の場合、

$S_n = \frac{\frac{2}{15}(1-(\frac{1}{15})^n)}{1-\frac{1}{15}}$

となります。

分母を計算すると、

$1 - \frac{1}{15} = \frac{15}{15} - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

となります。

したがって、

$S_n = \frac{\frac{2}{15}(1-(\frac{1}{15})^n)}{\frac{14}{15}}$

$S_n = \frac{2}{15} \cdot \frac{15}{14} (1-(\frac{1}{15})^n)$

$S_n = \frac{2}{14} (1-(\frac{1}{15})^n)$

$S_n = \frac{1}{7} (1-(\frac{1}{15})^n)$

この式が選択肢にないため、計算間違いがないか確認します。

計算間違いはないようなので、選択肢に最も近いものを選びます。

$S_n = \frac{2}{14}(1-(\frac{1}{15})^n)=\frac{1}{7}(1-\frac{1}{15^n})$です。

選択肢２は $\frac{1}{14}(1-\frac{1}{15^n})$なので、違います。

もとの問題をよく見ると$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k}$となっています。

$\frac{2}{15^k}=2 (\frac{1}{15})^k$なので、初項は$\frac{2}{15}$となります。

$S_n = \frac{\frac{2}{15}(1-(\frac{1}{15})^n)}{\frac{14}{15}}$

$S_n = \frac{2}{15} \times \frac{15}{14} (1-(\frac{1}{15})^n)$

$S_n = \frac{2}{14} (1-(\frac{1}{15})^n)$

$S_n = \frac{1}{7} (1-(\frac{1}{15})^n)$

$S_n = \frac{1}{7} (1-\frac{1}{15^n})$

選択肢の2番が$\frac{1}{14} (1-\frac{1}{15^n})$となっていますが、正解は $\frac{1}{7}(1-\frac{1}{15^n})$です。

したがって、選択肢の中に正しいものはありません。

3. 最終的な答え

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