与えられた2つの分数の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$ (2) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの分数の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$

(2) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母を有理化するために、分母の共役な複素数を分母と分子に掛けます。分母が$\sqrt{5} + 2$なので、共役な複素数は$\sqrt{5} - 2$です。

$\frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{1}{\sqrt{5}+2} \times \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2$

(2) まず、$1+\sqrt{2}$をひとまとめにして考える。分母と分子に$1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$をかける。

$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}} \times \frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2 - 3} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}-2$

(2) $\frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}$