(1) 陰関数 $yz + zx + xy = 1$ について、$(x, y) = (3, 1)$ での $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ と $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ を求める。 (2) 陰関数 $z^x = y^z$ について、$(x, y) = (5, 1)$ での $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ と $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 陰関数 $yz + zx + xy = 1$ について、$(x, y) = (3, 1)$ での $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ と $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ を求める。

(2) 陰関数 $z^x = y^z$ について、$(x, y) = (5, 1)$ での $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ と $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$yz + zx + xy = 1$ を $x$ で偏微分する。

$y \frac{\partial z}{\partial x} + z + x \frac{\partial z}{\partial x} + y = 0$

$\frac{\partial z}{\partial x} (y + x) = -z - y$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-z - y}{x + y}$

$(x, y) = (3, 1)$ のとき、$y z + zx + xy = 1$ より、$z + 3z + 3 = 1$ なので、$4z = -2$ よって $z = -\frac{1}{2}$.

したがって、

$\frac{\partial z}{\partial x} (3, 1) = \frac{-(-\frac{1}{2}) - 1}{3 + 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{4} = -\frac{1}{8}$.

次に、$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-z - y}{x + y}$ を更に $x$ で偏微分する。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{(- \frac{\partial z}{\partial x}) (x + y) - (-z - y)(1)}{(x + y)^2} = \frac{(- \frac{\partial z}{\partial x}) (x + y) + z + y}{(x + y)^2}$.

$(x, y) = (3, 1)$ で $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{8}$ なので、

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} (3, 1) = \frac{-(-\frac{1}{8}) (3 + 1) + (-\frac{1}{2}) + 1}{(3 + 1)^2} = \frac{\frac{4}{8} + \frac{1}{2}}{16} = \frac{1}{16}$.

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-z - y}{x + y}$ を $y$ で偏微分する。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{(- \frac{\partial z}{\partial y} - 1)(x + y) - (-z - y)(1)}{(x + y)^2} = \frac{(- \frac{\partial z}{\partial y} - 1)(x + y) + z + y}{(x + y)^2}$.

$yz + zx + xy = 1$ を $y$ で偏微分する。

$z + y \frac{\partial z}{\partial y} + x \frac{\partial z}{\partial y} + x = 0$

$\frac{\partial z}{\partial y} (y + x) = -z - x$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-z - x}{x + y}$

$\frac{\partial z}{\partial y} (3, 1) = \frac{-(-\frac{1}{2}) - 3}{3 + 1} = \frac{\frac{1}{2} - 3}{4} = \frac{-\frac{5}{2}}{4} = -\frac{5}{8}$.

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} (3, 1) = \frac{(- (-\frac{5}{8}) - 1)(3 + 1) + (-\frac{1}{2}) + 1}{(3 + 1)^2} = \frac{(-\frac{3}{8}) (4) + \frac{1}{2}}{16} = \frac{-\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}{16} = \frac{-1}{16} = -\frac{1}{16}$.

(2)

$z^x = y^z$ の両辺の対数をとると、$x \ln z = z \ln y$.

$x$ で偏微分すると、$\ln z + x \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial x} \ln y$.

$\frac{\partial z}{\partial x} (\frac{x}{z} - \ln y) = - \ln z$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{- \ln z}{\frac{x}{z} - \ln y} = \frac{z \ln z}{z \ln y - x}$.

$y$ で偏微分すると、$x \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial y} \ln y + z \frac{1}{y}$

$\frac{\partial z}{\partial y} (\frac{x}{z} - \ln y) = \frac{z}{y}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z^2}{y (x - z \ln y)}$.

$(x, y) = (5, 1)$ のとき、$z^5 = 1^z = 1$ なので、$z = 1$.

$\frac{\partial z}{\partial y} (5, 1) = \frac{1^2}{1 (5 - 1 \ln 1)} = \frac{1}{5}$.

$\frac{\partial z}{\partial x} (5, 1) = \frac{1 \ln 1}{1 \ln 1 - 5} = \frac{0}{-5} = 0$.

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z^2}{y (x - z \ln y)}$ を更に $y$ で偏微分する。

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2z \frac{\partial z}{\partial y} (y (x - z \ln y)) - z^2 (x - z \ln y + y (- \frac{\partial z}{\partial y} \ln y - \frac{z}{y}))}{(y (x - z \ln y))^2}$.

$(x, y) = (5, 1)$ で $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{5}$ なので、

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} (5, 1) = \frac{2 (1) (\frac{1}{5}) (1 (5 - 1 \ln 1)) - (1)^2 (5 - 1 \ln 1 + 1 (- \frac{1}{5} \ln 1 - \frac{1}{1}))}{(1 (5 - 1 \ln 1))^2} = \frac{\frac{2}{5} (5) - (5 - 1)}{(5)^2} = \frac{2 - 4}{25} = -\frac{2}{25}$.

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z \ln z}{z \ln y - x}$ を $y$ で偏微分する。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{(\frac{\partial z}{\partial y} \ln z + z \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial y}) (z \ln y - x) - z \ln z (\frac{\partial z}{\partial y} \ln y + z \frac{1}{y})}{(z \ln y - x)^2}$.

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{(\frac{\partial z}{\partial y} \ln z + \frac{\partial z}{\partial y}) (z \ln y - x) - z \ln z (\frac{\partial z}{\partial y} \ln y + \frac{z}{y})}{(z \ln y - x)^2}$.

$(x, y) = (5, 1)$ で $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{5}$ なので、

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} (5, 1) = \frac{(\frac{1}{5} \ln 1 + \frac{1}{5}) (1 \ln 1 - 5) - 1 \ln 1 (\frac{1}{5} \ln 1 + \frac{1}{1})}{(1 \ln 1 - 5)^2} = \frac{(\frac{1}{5}) (-5) - 0}{-5^2} = \frac{-1}{25} = -\frac{1}{25}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{1}{16}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{16}$

(2) $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{2}{25}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{25}$