関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ について、$x = 2$ における微分係数 $f'(2)$ を、微分係数の定義に従って求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ について、$x = 2$ における微分係数 $f'(2)$ を、微分係数の定義に従って求める。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

である。

この問題では、$a = 2$ なので、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

を計算する。

まず、$f(2+h)$ を計算する。

$f(2+h) = (2+h)^2 - 2(2+h) + 1 = (4 + 4h + h^2) - (4 + 2h) + 1 = 4 + 4h + h^2 - 4 - 2h + 1 = h^2 + 2h + 1$

次に、$f(2)$ を計算する。

$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$

したがって、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 + 2h + 1) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 2h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(h + 2)}{h} = \lim_{h \to 0} (h + 2) = 0 + 2 = 2$

3. 最終的な答え

$f'(2) = 2$