領域 $D_5$ と $D_6$ に対して、二重積分 $\iint_{D_i} 1 \, dxdy$ の値を求める問題です。ここで、 $D_5 = \{(x, y) \mid y = x + 1, y = 1 - x, y = 0\}$ であり、$D_6 = \{(x, y) \mid y = x, y = 1, x = 0\}$ です。

1. 問題の内容

領域 $D_5$ と $D_6$ に対して、二重積分 $\iint_{D_i} 1 \, dxdy$ の値を求める問題です。ここで、

$D_5 = \{(x, y) \mid y = x + 1, y = 1 - x, y = 0\}$ であり、$D_6 = \{(x, y) \mid y = x, y = 1, x = 0\}$ です。

2. 解き方の手順

(5) 領域 $D_5$ の二重積分

まず、$y = x + 1$ と $y = 1 - x$ の交点を求めます。$x + 1 = 1 - x$ を解くと、$2x = 0$ より $x = 0$ であり、このとき $y = 1$ です。

$y = x + 1$ と $y = 0$ の交点は $x = -1$ であり、$y = 1 - x$ と $y = 0$ の交点は $x = 1$ です。

領域 $D_5$ は、$x$ で積分してから $y$ で積分する順序で計算するため、積分範囲は、$0 \le y \le 1$ と、各 $y$ に対して $y-1 \le x \le 1 - y$ となります。

したがって、二重積分は次のようになります。

$$\iint_{D_5} 1 \, dxdy = \int_0^1 \int_{y-1}^{1-y} 1 \, dx dy$$

まず、$x$ に関する積分を計算します。

$$\int_{y-1}^{1-y} 1 \, dx = [x]_{y-1}^{1-y} = (1-y) - (y-1) = 2 - 2y$$

次に、$y$ に関する積分を計算します。

$$\int_0^1 (2 - 2y) \, dy = [2y - y^2]_0^1 = (2(1) - 1^2) - (2(0) - 0^2) = 2 - 1 = 1$$

(6) 領域 $D_6$ の二重積分

領域 $D_6$ は、$y = x$, $y = 1$, $x = 0$ で囲まれる領域です。積分範囲は $0 \le y \le 1$ であり、各 $y$ に対して $0 \le x \le y$ となります。したがって、二重積分は次のようになります。

$$\iint_{D_6} 1 \, dxdy = \int_0^1 \int_0^y 1 \, dx dy$$

まず、$x$ に関する積分を計算します。

$$\int_0^y 1 \, dx = [x]_0^y = y - 0 = y$$

次に、$y$ に関する積分を計算します。

$$\int_0^1 y \, dy = [\frac{1}{2}y^2]_0^1 = \frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

(5) 領域 $D_5$ の二重積分の値: 1

(6) 領域 $D_6$ の二重積分の値: $\frac{1}{2}$