与えられた4つの関数 a, b, c, d をそれぞれ微分する問題です。 a) $(2x+1)^2$ b) $(x-1)^2(x+1)^2$ c) $(x - \frac{1}{x})^2$ d) $\frac{x^2-1}{x^2+1}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数 a, b, c, d をそれぞれ微分する問題です。

a) $(2x+1)^2$

b) $(x-1)^2(x+1)^2$

c) $(x - \frac{1}{x})^2$

d) $\frac{x^2-1}{x^2+1}$

2. 解き方の手順

a) $(2x+1)^2$ の微分

まず、展開してから微分します。

$(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$

微分すると

$\frac{d}{dx}(4x^2 + 4x + 1) = 8x + 4$

b) $(x-1)^2(x+1)^2$ の微分

$(x-1)^2(x+1)^2 = ((x-1)(x+1))^2 = (x^2-1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

微分すると

$\frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 1) = 4x^3 - 4x$

c) $(x - \frac{1}{x})^2$ の微分

$(x - \frac{1}{x})^2 = (x - x^{-1})^2 = x^2 - 2 + x^{-2}$

微分すると

$\frac{d}{dx}(x^2 - 2 + x^{-2}) = 2x - 2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}$

通分すると

$2x - \frac{2}{x^3} = \frac{2x^4 - 2}{x^3}$

d) $\frac{x^2-1}{x^2+1}$ の微分

商の微分公式を使います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x^2 - 1$, $v = x^2 + 1$

$u' = 2x$, $v' = 2x$

$\frac{d}{dx}(\frac{x^2-1}{x^2+1}) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

3. 最終的な答え

a) $8x + 4$

b) $4x^3 - 4x$

c) $\frac{2x^4 - 2}{x^3}$

d) $\frac{4x}{(x^2+1)^2}$