自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ のベキ集合 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ が実数全体の集合 $\mathbb{R}$ と対等であることを示す問題です。つまり、全単射 $\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{R}$ が存在することを示します。

1. 問題の内容

自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ のベキ集合 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ が実数全体の集合 $\mathbb{R}$ と対等であることを示す問題です。つまり、全単射 $\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{R}$ が存在することを示します。

2. 解き方の手順

* $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ の対等性を示す。

$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ の任意の元 $A$ に対して, 写像 $f: \mathbb{N} \to \{0,1\}$ を次のように定義します.

$f(n) = 1$ if $n \in A$

$f(n) = 0$ if $n \notin A$

このとき, 写像 $A \mapsto f$ が $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ から $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ への全単射となります. つまり、$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ は対等です。

* $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ と $[0,1]$ の対等性を示す。

$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ の任意の元 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ に対して, 実数 $x \in [0,1]$ を次のように対応させます.

$x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}$

この対応は全射ですが, 単射ではありません. 例えば, $0.1000\dots = 0.0111\dots$ のように二通りの二進小数表示を持つ実数があるからです。しかし, このような表現が一意でない実数は可算個しか存在しないので, 修正することで全単射を作ることができます。

例えば、以下の写像を考えます。

$g:\{0,1\}^{\mathbb{N}} \to [0,1]$

$g((a_n)_{n=1}^{\infty}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n}$

この写像は単射です。なぜなら、異なる二進数列は異なる３進小数を与えるからです。また、この写像は $[0,1]$ からカントール集合への全単射となります。

* $[0,1]$ と $\mathbb{R}$ の対等性を示す。

関数 $h: (0,1) \to \mathbb{R}$ を $h(x) = \tan(\pi(x - \frac{1}{2}))$ で定義すると、$h$ は全単射です。また、$(0,1)$ と $[0,1]$ は対等なので、$[0,1]$ と $\mathbb{R}$ は対等です。

$[0,1]$と$(0,1)$の対等性は、例えば以下の写像で示せます。

$f:[0,1] \to (0,1)$

$f(0) = 1/3$

$f(1) = 2/3$

$f(1/n) = 1/(n+3), n \ge 2$

$f(x) = x$, それ以外

この写像は全単射です。

* $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と $\mathbb{R}$ の対等性を示す。

上記の議論から, $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ が対等であり, $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ から $[0,1]$ への単射が存在し, $[0,1]$ と $\mathbb{R}$ が対等であることがわかりました。

$|\mathcal{P}(\mathbb{N})| = |\{0,1\}^{\mathbb{N}}| \le |[0,1]| = |\mathbb{R}|$

一方, $\mathbb{R}$ から $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ への単射も存在します。例えば, $\mathbb{R}$ の各実数を二進小数展開し, それに対応する自然数の集合を考えれば良いです。

したがって, Bernsteinの定理より $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と $\mathbb{R}$ は対等であると言えます。

3. 最終的な答え

自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ のベキ集合 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ は実数全体の集合 $\mathbb{R}$ と対等である。