7個の数字 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3 をすべて使ってできる7桁の整数は何個あるかを求める問題。

1. 問題の内容

7個の数字 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3 をすべて使ってできる7桁の整数は何個あるかを求める問題。

2. 解き方の手順

7個の数字を並べる総数は、同じものを含む順列の考え方を使う。

まず、7個の数字を区別すると考えると、並べ方は $7!$ 通りある。

しかし、実際には1が3個、2が2個、3が2個あるので、それぞれの並べ方の重複を解消する必要がある。

1が3個あることによる重複は $3!$ 通り、2が2個あることによる重複は $2!$ 通り、3が2個あることによる重複は $2!$ 通りある。

したがって、求める7桁の整数の個数は、

$$$$

\frac{7!}{3!2!2!}

$$$$

で計算できる。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$2! = 2 \times 1 = 2$

$$$$

\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{5040}{6 \times 2 \times 2} = \frac{5040}{24} = 210

$$$$

3. 最終的な答え

210個