問題は、与えられた循環小数を分数で表すことです。 (1) $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\dots$ (2) $1.5\dot{6} = 1.565656\dots$

1. 問題の内容

問題は、与えられた循環小数を分数で表すことです。

(1) $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\dots$

(2) $1.5\dot{6} = 1.565656\dots$

2. 解き方の手順

(1) $x = 0.123123\dots$ と置きます。循環節の長さは3なので、両辺を1000倍します。

$1000x = 123.123123\dots$

$1000x - x = 123.123123\dots - 0.123123\dots$

$999x = 123$

$x = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$

(2) $x = 1.565656\dots$ と置きます。循環節の長さは2なので、小数点以下を循環節だけにします。まず、10倍します。

$10x = 15.656565\dots$

ここで、$y = 15.656565\dots$ と置きます。循環節の長さは2なので、両辺を100倍します。

$100y = 1565.656565\dots$

$100y - y = 1565.656565\dots - 15.656565\dots$

$99y = 1550$

$y = \frac{1550}{99}$

$10x = \frac{1550}{99}$

$x = \frac{1550}{990} = \frac{155}{99}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{41}{333}$

(2) $\frac{155}{99}$