4x4の魔方陣の一部の数字が与えられており、欠けている数字$a$を、選択肢の中から選び出す問題です。魔方陣とは、各行、各列、対角線上の数の合計がすべて等しくなる正方行列のことです。

1. 問題の内容

4x4の魔方陣の一部の数字が与えられており、欠けている数字$a$を、選択肢の中から選び出す問題です。魔方陣とは、各行、各列、対角線上の数の合計がすべて等しくなる正方行列のことです。

2. 解き方の手順

4x4魔方陣の1行、1列、対角線の和は等しく、その値を魔方陣の定和と呼びます。与えられた数字から定和を求める必要があります。

まず、4行目には1と8があります。残りの2つのマスを$x$と$y$とすると、$1 + 8 + x + y =$ 定和となります。

次に、3列目には15が一番上にあり、下から3番目に12があります。残りの2つのマスを$z$と$w$とすると、$15 + z + 12 + w =$ 定和となります。

斜めの要素を確認すると、$a$から右下の要素は8です。残りの2つの要素を$p$と$q$とすると、$a + p + q + 8 =$ 定和となります。

1行目を見ると、5と15があります。残りの2つのマスを$a$と$r$とすると、$a + 5 + q + 15 =$ 定和となります。

3行目を見ると、7と12があります。残りの2つのマスを$q$と$s$とすると、$7 + 12 + x + y =$ 定和となります。

2列目を見ると、5, 3, 12があります。したがって、$5+3+12 + t =$ 定和となります。ここで$t$は一番下の行の2列目の数字を示します。$t = 16$です。定和は$5+3+12+t = 5+3+12+16 = 36$となります。

したがって、

$a + 5 + q + 15 = 36$

$a + 20 + q = 36$

$a+q = 16$

4列目は、15, 空白、空白、8です。

4列目に文字を設定すると、$15 + u + v + 8 = 36$, where $u$ is second row, fourth column, and $v$ is the third row, fourth column.

$u+v = 13$

1列目は $a, 空白, 7, 1$です。

列に文字を設定すると、$a + w + 7 + 1 = 36$, where $w$ is the second row, first column.

$a + w + 8 = 36$

$a + w = 28$

各行、列、対角線の和は34になるはずです。

$a$の値を推定します。選択肢を見ると、10, 16, 4, 9, 11があります。

$a$ が10の場合

$a + q = 16$より$q = 6$

$a + w = 28$より$w = 18$

$w=18$は1から16の範囲ではないので、$a$は10ではない。

$a$ が11の場合

$a + q = 16$より$q = 5$

$a + w = 28$より$w = 17$

$w=17$は1から16の範囲ではないので、$a$は11ではない。

$a$ が4の場合

$a + q = 16$より$q = 12$

$a + w = 28$より$w = 24$

$w=24$は1から16の範囲ではないので、$a$は4ではない。

$a$ が9の場合

$a + q = 16$より$q = 7$

$a + w = 28$より$w = 19$

$w=19$は1から16の範囲ではないので、$a$は9ではない。

$a$ が16の場合

$a + q = 16$より$q = 0$

$q=0$は適切ではない。

数字が正の整数であると仮定すると、定和は34です。

$5+3+12+16 = 36$, 定和36も異質なので計算ミスであると仮定します。

数字が1から16の場合、各行、列、対角線の和は34になります。

したがって、$a$が入る行を見てみましょう。$a + 5 + c + 15 = 34$なので、$a + c = 14$が成立します。

$a$の候補を10, 16, 4, 9, 11とします。

それぞれの$c$は4, -2, 10, 5, 3となります。

-2は除外します。

次に、1列目に注目します。$a + b + 7 + 1 = 34$なので、$a + b = 26$が成立します。

$b$について解くと、$a$が10, 4, 9, 11のとき$b$は16, 22, 17, 15となります。

ここで、$b$の値は16と15のみが適切です。22と17は範囲外です。

これで、$a$が10の場合、$b$は16であるという関係が分かりました。

3. 最終的な答え

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