与えられた二重根号の式を簡単にする問題です。具体的には、 (1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}} + \sqrt{7-2\sqrt{12}}$ (2) $\sqrt{11+6\sqrt{2}}$ をそれぞれ簡単にする必要があります。

1. 問題の内容

与えられた二重根号の式を簡単にする問題です。具体的には、

(1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}} + \sqrt{7-2\sqrt{12}}$

(2) $\sqrt{11+6\sqrt{2}}$

をそれぞれ簡単にする必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}} + \sqrt{7-2\sqrt{12}}$ を簡単にする。

二重根号を外す公式 $\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ を利用します。

まず、$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ について考えます。

$a+b=5$, $ab=6$ となる $a, b$ を探すと、$a=3$, $b=2$ が見つかります。

よって、$\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ となります。

次に、$\sqrt{7-2\sqrt{12}}$ について考えます。

$a+b=7$, $ab=12$ となる $a, b$ を探すと、$a=4$, $b=3$ が見つかります。

よって、$\sqrt{7-2\sqrt{12}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$ となります。

したがって、$\sqrt{5+2\sqrt{6}} + \sqrt{7-2\sqrt{12}} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{3}) = \sqrt{2} + 2$ となります。

(2) $\sqrt{11+6\sqrt{2}}$ を簡単にする。

$6\sqrt{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 2 \sqrt{18}$ なので、$\sqrt{11+6\sqrt{2}} = \sqrt{11+2\sqrt{18}}$ と変形できます。

$a+b=11$, $ab=18$ となる $a, b$ を探すと、$a=9$, $b=2$ が見つかります。

よって、$\sqrt{11+2\sqrt{18}} = \sqrt{9} + \sqrt{2} = 3 + \sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2} + 2$

(2) $3 + \sqrt{2}$