7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5個を選んで並べ、5桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数は何個作れるか。 (1) 5桁の偶数 (2) 5桁の5の倍数

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5個を選んで並べ、5桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数は何個作れるか。

(1) 5桁の偶数

(2) 5桁の5の倍数

2. 解き方の手順

(1) 5桁の偶数

5桁の偶数となるためには、一の位が0, 2, 4, 6のいずれかである必要があります。

(i) 一の位が0の場合：

残りの4桁は、残りの6個の数字から選びます。

千の位には0以外の数字を入れる必要はないので、自由に選べます。

したがって、$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り

(ii) 一の位が2, 4, 6の場合：

一の位の選び方は3通り。

千の位に0を置けないので、千の位の選び方は5通り。

残りの3桁は、残りの5個の数字から選びます。

したがって、$3 \times 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 900$通り

合計：$360 + 900 = 1260$通り

(2) 5桁の5の倍数

5桁の5の倍数となるためには、一の位が0または5である必要があります。

(i) 一の位が0の場合：

残りの4桁は、残りの6個の数字から選びます。

千の位には0以外の数字を入れる必要はないので、自由に選べます。

したがって、$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り

(ii) 一の位が5の場合：

千の位に0を置けないので、千の位の選び方は5通り。

残りの3桁は、残りの5個の数字から選びます。

したがって、$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$通り

合計：$360 + 300 = 660$通り

3. 最終的な答え

(1) 1260個

(2) 660個