ある日の数学の試験結果がA, B, C組の男女別にまとめられた表が与えられています。 表には、各組の男子と女子の受験人数と平均点が記載されています。 ただし、C組の人数は $x$ を用いて表されており、$x$ は1以上39以下の整数です。 以下の3つの問いに答えます。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの $x$ の値を求めます。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上となるような $x$ の値を全て求めます。 (3) 後日、C組の2人の男子が同じ試験を受験し、2人の得点の和を $k$ 点とします。 当初、C組の平均点がA組の平均点以上でしたが、2人の得点を加えて再計算したところ、C組の平均点がA組の平均点よりも低くなりました。 $x$ の値がただ1つに定まるような $k$ の値を全て求めます。

算数平均試験人数点数方程式不等式
2025/7/13
はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

ある日の数学の試験結果がA, B, C組の男女別にまとめられた表が与えられています。
表には、各組の男子と女子の受験人数と平均点が記載されています。
ただし、C組の人数は xx を用いて表されており、xx は1以上39以下の整数です。
以下の3つの問いに答えます。
(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの xx の値を求めます。
(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上となるような xx の値を全て求めます。
(3) 後日、C組の2人の男子が同じ試験を受験し、2人の得点の和を kk 点とします。
当初、C組の平均点がA組の平均点以上でしたが、2人の得点を加えて再計算したところ、C組の平均点がA組の平均点よりも低くなりました。
xx の値がただ1つに定まるような kk の値を全て求めます。

2. 解き方の手順

(1) A組の平均点を求める。
A組の男子の合計点は 32×60=192032 \times 60 = 1920 点。
A組の女子の合計点は 8×70=5608 \times 70 = 560 点。
A組全体の合計点は 1920+560=24801920 + 560 = 2480 点。
A組の人数は 32+8=4032 + 8 = 40 人。
A組の平均点は 2480/40=622480 / 40 = 62 点。
B組の平均点は
(40x)×65+x×5540=62\frac{(40-x) \times 65 + x \times 55}{40} = 62
これを解いて xx の値を求めます。
(40x)×65+55x=62×40(40-x) \times 65 + 55x = 62 \times 40
260065x+55x=24802600 - 65x + 55x = 2480
260010x=24802600 - 10x = 2480
10x=12010x = 120
x=12x = 12
(2) C組の平均点を求める。
C組の平均点は
(x+5)×59+(40x)×6440+5=59x+295+256064x45=28555x45\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64}{40+5} = \frac{59x + 295 + 2560 - 64x}{45} = \frac{2855 - 5x}{45}
C組の平均点がA組の平均点以上なので、
28555x4562\frac{2855 - 5x}{45} \ge 62
28555x62×45=27902855 - 5x \ge 62 \times 45 = 2790
28555x27902855 - 5x \ge 2790
655x65 \ge 5x
13x13 \ge x
x13x \le 13
B組の合計得点は (40x)×65+x×55=260065x+55x=260010x(40-x) \times 65 + x \times 55 = 2600 - 65x + 55x = 2600 - 10x
C組の合計得点は (x+5)×59+(40x)×64=59x+295+256064x=28555x(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 = 59x + 295 + 2560 - 64x = 2855 - 5x
B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上なので、
(260010x)(28555x)300| (2600 - 10x) - (2855 - 5x) | \ge 300
2555x300| -255 - 5x | \ge 300
255+5x300| 255 + 5x | \ge 300
255+5x300255 + 5x \ge 300 または 255+5x300255 + 5x \le -300
5x455x \ge 45 または 5x5555x \le -555
x9x \ge 9 または x111x \le -111
xx は1以上39以下の整数なので、9x139 \le x \le 13
x=9,10,11,12,13x = 9, 10, 11, 12, 13
(3) C組の平均点を再計算する。
元のC組の人数は x+5x+5 人。2人の男子が加わるので、x+7x+7人。
元のC組の合計点は 28555x2855 - 5x 点。2人の男子の得点の和が kk 点なので、28555x+k2855 - 5x + k 点。
C組の新しい平均点は 28555x+kx+7\frac{2855 - 5x + k}{x+7}
この新しい平均点がA組の平均点62点より低いので、
28555x+kx+7<62\frac{2855 - 5x + k}{x+7} < 62
28555x+k<62(x+7)=62x+4342855 - 5x + k < 62(x+7) = 62x + 434
k<67x2421k < 67x - 2421
当初、C組の平均点がA組の平均点以上だったので 28555x4562\frac{2855-5x}{45} \ge 62 が成立していた。
28555x4562\frac{2855 - 5x}{45} \ge 62
28555x27902855 - 5x \ge 2790
655x65 \ge 5x
13x13 \ge x
xx の値がただ一つに定まるような kk の値を求める。
xx の範囲は x{1,2,,13}x \in \{1, 2, \dots, 13\}.
k<67x2421k < 67x - 2421
もし x=13x=13 なら k<67(13)2421=8712421=1550k < 67(13) - 2421 = 871 - 2421 = -1550.
これはありえない。
kk は 2人の得点の和なので 0k2000 \le k \le 200.
kkが定まるためには 67x242167x-2421 は唯一でなければならない。
k<67x2421k < 67x-2421 の条件を満たすためには、xxが決定されなければならない。
C組の人数はx+5x+5人だった.新たに2人が参加したため、x+7x+7人になった.
受験者全体の合計点は2855-5x+k
C組の新たな平均点が62点より低いので
28555x+kx+7<62\frac{2855-5x+k}{x+7}<62
すなわち28555x+k<62x+4342855-5x+k<62x+434
k<67x2421k<67x-2421
元のC組の平均点が62点以上だったので、28555x4562\frac{2855-5x}{45}\geq 62
28555x27902855-5x\geq 2790
x13x\leq 13
k>67(x1)2421x2k>67(x-1)-2421 \qquad x\geq 2

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点:62点。B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、x=12x=12
(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上となるような xx の値:x=9,10,11,12,13x = 9, 10, 11, 12, 13
(3) xx の値がただ1つに定まるような kk の値:解なし

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