6人を以下の2つの方法で分ける場合の数を求めます。 (1) A, B, Cの3つの部屋に2人ずつ分ける場合の数。 (2) 2人ずつの3つの組に分ける場合の数。

1. 問題の内容

6人を以下の2つの方法で分ける場合の数を求めます。

(1) A, B, Cの3つの部屋に2人ずつ分ける場合の数。

(2) 2人ずつの3つの組に分ける場合の数。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C の3つの部屋に2人ずつ分ける場合

まず、6人の中からAの部屋に入れる2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは、6人から2人を選ぶ組み合わせなので、 $_6C_2$ 通りです。

次に、残りの4人の中からBの部屋に入れる2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは、4人から2人を選ぶ組み合わせなので、 $_4C_2$ 通りです。

最後に、残りの2人は自動的にCの部屋に入ることになるので、組み合わせは $_2C_2 = 1$ 通りです。

したがって、A, B, Cの3つの部屋に2人ずつ分ける場合の数は、

$_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2$ で計算できます。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_2C_2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

したがって、$_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 = 15 \times 6 \times 1 = 90$通りです。

(2) 2人ずつの3つの組に分ける場合

まず、6人の中から最初の組に入れる2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは、6人から2人を選ぶ組み合わせなので、 $_6C_2$ 通りです。

次に、残りの4人の中から2番目の組に入れる2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは、4人から2人を選ぶ組み合わせなので、 $_4C_2$ 通りです。

最後に、残りの2人は自動的に3番目の組に入ることになるので、組み合わせは $_2C_2 = 1$ 通りです。

ただし、この場合、組に区別がないため、組の並び順を考慮する必要はありません。3つの組の並び順は3!通りあるので、$_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2$ を3!で割る必要があります。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_2C_2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

したがって、2人ずつの3つの組に分ける場合の数は、

$\frac{_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{3!} = \frac{15 \times 6 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{90}{6} = 15$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 90通り

(2) 15通り