(1) 確率変数 $X$ の確率密度関数が $f_X(x) = \begin{cases} cx + \frac{1}{2} & 0 \le x \le 3 \\ 0 & \text{その他} \end{cases}$ で与えられている。 (a) 定数 $c$ を決定せよ。 (b) 累積分布関数 $F_X(x)$ を求めよ。 (c) 期待値 $E[X]$ を求めよ。 (2) 確率変数 $X$ が一様分布 $U(0, 5)$ に従うとき、以下の確率を求めよ。 (a) $P(X > 1)$ (b) $P(X \le 3.5)$ (c) $P(1.5 < X \le 3.5)$ (3) 長さ $L$ の棒をランダムに2分割して得られる2つの棒のうち、長い方の長さを $X$ とする。(2等分された時は $X = L/2$。) (a) $X$ の累積分布関数 $F_X(x)$ が $F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < \frac{L}{2} \\ \frac{2x - L}{L} & \frac{L}{2} \le x \le L \\ 1 & x > L \end{cases}$ で与えられることを説明せよ。 (b) $X$ の確率密度関数 $f_X(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 確率変数 $X$ の確率密度関数が

$f_X(x) = \begin{cases} cx + \frac{1}{2} & 0 \le x \le 3 \\ 0 & \text{その他} \end{cases}$

で与えられている。

(a) 定数 $c$ を決定せよ。

(b) 累積分布関数 $F_X(x)$ を求めよ。

(c) 期待値 $E[X]$ を求めよ。

(2) 確率変数 $X$ が一様分布 $U(0, 5)$ に従うとき、以下の確率を求めよ。

(a) $P(X > 1)$

(b) $P(X \le 3.5)$

(c) $P(1.5 < X \le 3.5)$

(3) 長さ $L$ の棒をランダムに2分割して得られる2つの棒のうち、長い方の長さを $X$ とする。(2等分された時は $X = L/2$。)

(a) $X$ の累積分布関数 $F_X(x)$ が

$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < \frac{L}{2} \\ \frac{2x - L}{L} & \frac{L}{2} \le x \le L \\ 1 & x > L \end{cases}$

で与えられることを説明せよ。

(b) $X$ の確率密度関数 $f_X(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) (a) 確率密度関数の積分は1になる必要があるため、

$\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = \int_0^3 (cx + \frac{1}{2}) dx = 1$

$\int_0^3 (cx + \frac{1}{2}) dx = [\frac{cx^2}{2} + \frac{1}{2}x]_0^3 = \frac{9c}{2} + \frac{3}{2} = 1$

$\frac{9c}{2} = -\frac{1}{2}$

$c = -\frac{1}{9}$

(1) (b) 累積分布関数は $F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) dt$ で与えられる。

$x < 0$ のとき $F_X(x) = 0$。

$0 \le x \le 3$ のとき

$F_X(x) = \int_0^x (-\frac{1}{9}t + \frac{1}{2}) dt = [-\frac{t^2}{18} + \frac{1}{2}t]_0^x = -\frac{x^2}{18} + \frac{x}{2}$

$x > 3$ のとき $F_X(x) = 1$。

したがって、

$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ -\frac{x^2}{18} + \frac{x}{2} & 0 \le x \le 3 \\ 1 & x > 3 \end{cases}$

(1) (c) 期待値は $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx$ で与えられる。

$E[X] = \int_0^3 x(-\frac{1}{9}x + \frac{1}{2}) dx = \int_0^3 (-\frac{x^2}{9} + \frac{x}{2}) dx = [-\frac{x^3}{27} + \frac{x^2}{4}]_0^3 = -\frac{27}{27} + \frac{9}{4} = -1 + \frac{9}{4} = \frac{5}{4}$

(2) (a) $X \sim U(0, 5)$ より、確率密度関数は $f_X(x) = \frac{1}{5}$ ($0 \le x \le 5$)。

$P(X > 1) = \int_1^5 \frac{1}{5} dx = [\frac{x}{5}]_1^5 = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

(2) (b) $P(X \le 3.5) = \int_0^{3.5} \frac{1}{5} dx = [\frac{x}{5}]_0^{3.5} = \frac{3.5}{5} = \frac{7}{10}$

(2) (c) $P(1.5 < X \le 3.5) = \int_{1.5}^{3.5} \frac{1}{5} dx = [\frac{x}{5}]_{1.5}^{3.5} = \frac{3.5}{5} - \frac{1.5}{5} = \frac{2}{5}$

(3) (a) 長さ$L$の棒をランダムに2分割するので、分割点を$Y$とする。$Y$は区間$[0,L]$上の一様分布に従う。$X$は長い方の棒の長さなので、$X = \max(Y, L-Y)$。

$x < L/2$のとき、$X$は決して$x$より小さくならないため、$F_X(x) = P(X \le x) = 0$。

$L/2 \le x \le L$のとき、長い方の長さが$x$以下であることは、短い方の長さも$x$以下であることを意味する。言い換えると、分割点$Y$は区間$[L-x, x]$にある必要がある。したがって、$P(X \le x) = P(L-x \le Y \le x)$。$Y$は$[0,L]$上の一様分布なので、$P(L-x \le Y \le x) = \frac{x - (L-x)}{L} = \frac{2x - L}{L}$。

$x > L$のとき、$X$は必ず$x$以下なので、$F_X(x) = P(X \le x) = 1$。

以上より、$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < \frac{L}{2} \\ \frac{2x - L}{L} & \frac{L}{2} \le x \le L \\ 1 & x > L \end{cases}$

(3) (b) 確率密度関数は累積分布関数を微分することで得られる。

$f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)$

$x < L/2$のとき $f_X(x) = 0$。

$L/2 \le x \le L$のとき $f_X(x) = \frac{d}{dx} (\frac{2x - L}{L}) = \frac{2}{L}$。

$x > L$のとき $f_X(x) = 0$。

したがって、$f_X(x) = \begin{cases} \frac{2}{L} & \frac{L}{2} \le x \le L \\ 0 & \text{その他} \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) (a) $c = -\frac{1}{9}$

(1) (b) $F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ -\frac{x^2}{18} + \frac{x}{2} & 0 \le x \le 3 \\ 1 & x > 3 \end{cases}$

(1) (c) $E[X] = \frac{5}{4}$

(2) (a) $P(X > 1) = \frac{4}{5}$

(2) (b) $P(X \le 3.5) = \frac{7}{10}$

(2) (c) $P(1.5 < X \le 3.5) = \frac{2}{5}$

(3) (a) 上記の通り

(3) (b) $f_X(x) = \begin{cases} \frac{2}{L} & \frac{L}{2} \le x \le L \\ 0 & \text{その他} \end{cases}$