クラスの生徒31人について、ドラゴンクエストウォーク（ドラクエウォーク）をしている人数、ポケモンGOをしている人数、両方している人数が与えられている。 (1) ドラクエウォークをしていない人数を求める。 (2) どちらもしていない人数を求める。 (3) ドラクエウォークはするが、ポケモンGOはしない人数を求める。 また、全体集合Uの部分集合A, Bに対して、$n(U) = 50$、$n(A) = 35$、$n(B) = 20$のとき、$n(A \cap B)$の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

クラスの生徒31人について、ドラゴンクエストウォーク（ドラクエウォーク）をしている人数、ポケモンGOをしている人数、両方している人数が与えられている。

(1) ドラクエウォークをしていない人数を求める。

(2) どちらもしていない人数を求める。

(3) ドラクエウォークはするが、ポケモンGOはしない人数を求める。

また、全体集合Uの部分集合A, Bに対して、$n(U) = 50$、$n(A) = 35$、$n(B) = 20$のとき、$n(A \cap B)$の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

問題7

(1) ドラクエウォークをしていない人数:

全体人数から、ドラクエウォークをしている人数を引く。

$31 - 19 = 12$

(2) どちらもしていない人数:

全体人数から、ドラクエウォークをしている人数、ポケモンGOをしている人数を足し、両方している人数を引いたものを引く。

$31 - (19 + 15 - 8) = 31 - 26 = 5$

(3) ドラクエウォークはするが、ポケモンGOはしない人数:

ドラクエウォークをしている人数から、両方している人数を引く。

$19 - 8 = 11$

問題8

$n(U) = 50$, $n(A) = 35$, $n(B) = 20$ のとき、$n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求める。

$n(A \cap B)$ の最大値は、$n(B) \leq n(A)$ より、$n(A \cap B) = n(B) = 20$ (BがAに含まれるとき)。

$n(A \cap B)$ の最小値は、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ を利用する。

$n(A \cup B) \leq n(U)$ より、$35 + 20 - n(A \cap B) \leq 50$

$55 - n(A \cap B) \leq 50$

$n(A \cap B) \geq 55 - 50$

$n(A \cap B) \geq 5$

よって、最小値は5。

3. 最終的な答え

問題7

(1) 12人

(2) 5人

(3) 11人

問題8

最大値: 20

最小値: 5