$\sqrt{135n}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{135n}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{135n}$ が自然数となるためには、$135n$ がある自然数の2乗になる必要があります。

まず、135を素因数分解します。

$135 = 3 \times 45 = 3 \times 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 3^3 \times 5$

したがって、$\sqrt{135n} = \sqrt{3^3 \times 5 \times n}$ となります。

$\sqrt{3^3 \times 5 \times n}$ が自然数になるためには、$3^3 \times 5 \times n$ がある自然数の2乗になる必要があります。

つまり、$3^3 \times 5 \times n$ の指数が全て偶数になる必要があります。

$3^3$ の指数は3なので、3をかけると $3^4$ となり偶数になります。

$5^1$ の指数は1なので、5をかけると $5^2$ となり偶数になります。

したがって、$n$ は少なくとも $3 \times 5$ を含む必要があります。

$n = 3 \times 5 = 15$ とすると、$135n = 3^3 \times 5 \times (3 \times 5) = 3^4 \times 5^2 = (3^2 \times 5)^2 = (9 \times 5)^2 = 45^2 = 2025$ となり、$\sqrt{135n} = \sqrt{2025} = 45$ となり自然数となります。

$n$ がこれよりも小さい自然数の場合、$135n$ は自然数の2乗にならないため、最も小さい $n$ は15となります。

問題では、5と6の中に数字を入れる形式になっています。

$n = 15$ なので、

5には1が、6には5が入ります。

3. 最終的な答え

5: 1

6: 5