8つの目盛りがついたダイヤルがあり、針は0を指しています。ダイヤルを $a$ 目盛りだけ矢印の方向に回したときの針の指す数字を $X$ 、さらに $a^2$ 目盛りだけ反対方向に回したときの針の指す数字を $Y$ とします。 (1) 表のア～カにあてはまる整数を求めます。ただし、$7 < ウ < オ < 16$ です。 (2) $a = 8n + 6$ ($n$ は0以上の整数)のとき、$Y =$ キ となる。（※）について、キに当てはまる整数を求め、(※)が成り立つことを証明します。

1. 問題の内容

8つの目盛りがついたダイヤルがあり、針は0を指しています。ダイヤルを $a$ 目盛りだけ矢印の方向に回したときの針の指す数字を $X$ 、さらに $a^2$ 目盛りだけ反対方向に回したときの針の指す数字を $Y$ とします。

(1) 表のア～カにあてはまる整数を求めます。ただし、$7 < ウ < オ < 16$ です。

(2) $a = 8n + 6$ ($n$ は0以上の整数)のとき、$Y =$ キ となる。（※）について、キに当てはまる整数を求め、(※)が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた条件と例（$a=3$ のとき $X=3, Y=2$）から、ダイヤルが8目盛りであることを考慮して、 $X$ と $Y$ を $a$ を用いて表すことを考えます。

$X$ は、$a$ を8で割った余りです。

$Y$ は、$X - a^2$ を8で割った余り（負になる場合は8を足して調整）です。

* **アを求める**: $a=7$ のとき、$X = 7$ を8で割った余りなので、 $X = 7$。よって、アは7。

$Y = 7 - 7^2 = 7 - 49 = -42$ 。 $Y$ は$-42$ を8で割った余りなので、 $-42 = -6 \times 8 + 6$ より、 $Y=6$。よって、イは6。

* **ウ、エを求める**: $Y = 6$ はすでにわかっています。

$X - a^2 = 6$

$X = a$ を8で割った余りなので $a - a^2 = 6 + 8k$を満たす必要があります。

ウに入るのは $7 < a < 16$の範囲の整数なので、 $a = X$ と考えて、表をみると $a = ウ$ のとき、$Y = 6$ となるので、$a < 16$となる$a$を考えてみます。

$a - a^2 = 6 + 8k$

$a^2 - a + 6 + 8k = 0$

$a$が整数になるような$k$を探すのは難しいので、別のアプローチを取ります。

$a = X$ なので $X - a^2 \equiv 6 \pmod{8}$。

$a \equiv a^2 + 6 \pmod{8}$.

$a^2 + 6$ を $8$ で割った余りが $a$ になる $a$ を探します。

$a$ が $7 < a < 16$ の範囲の整数を順番に入れて確認します。

$a = 10$ のとき $10^2 + 6 = 106 = 13 \times 8 + 2$ より、$2$ が余り。

$a = 11$ のとき $11^2 + 6 = 127 = 15 \times 8 + 7$ より、$7$ が余り。

$a = 12$ のとき $12^2 + 6 = 150 = 18 \times 8 + 6$ より、$6$ が余り。

$a = 13$ のとき $13^2 + 6 = 175 = 21 \times 8 + 7$ より、$7$ が余り。

$a = 14$ のとき $14^2 + 6 = 202 = 25 \times 8 + 2$ より、$2$ が余り。

$a = 15$ のとき $15^2 + 6 = 231 = 28 \times 8 + 7$ より、$7$ が余り。

$a = 12$ のとき、$X = 12$ を 8 で割った余りは 4。 よって、$エ = 4$, $ウ = 12$

* **オ、カを求める**: $X = 5$ なので、$a = オ$とすると、$a$ を8で割った余りが5。

$a - a^2 = 5 - a^2 \equiv Y \pmod{8}$。

$Y = 5 - a^2$.

表をみると $a > ウ$ となるので、$オ > 12$。

したがって、$a = 5 + 8k$ を満たす $a$ について、$a > 12$ となる最小の整数は $a = 13$。

$a=13$ のとき、$X = 5$。 $Y = 5 - a^2 = 5 - 169 = -164$. $-164 = -21*8 + 4$.

$Y = 4$ よって、カは4。

$オ = 13$。

(2)

⑦ $a = 8n + 6$のとき、 $a^2 = (8n+6)^2 = 64n^2 + 96n + 36$.

$Y \equiv X - a^2 \pmod{8}$

$X \equiv a \pmod{8} \equiv 6 \pmod{8}$

$Y \equiv 6 - (64n^2 + 96n + 36) \pmod{8}$

$Y \equiv 6 - (0 + 0 + 4) \pmod{8}$

$Y \equiv 2 \pmod{8}$

したがって $Y = 2$。 よって、キ = 2

イ. $a = 8n + 6$のとき、ダイヤルを $n$ 周と6目盛りだけ矢印の方向にまわすから、針のさす数字は6である。$X = 6$。

$a^2 = (8n+6)^2 = 64n^2 + 96n + 36$. この分だけ逆方向にまわす。 $64n^2 + 96n + 36$ を8で割った余りを計算すると

$64n^2 + 96n + 36 \equiv 0n^2 + 0n + 4 \equiv 4 \pmod{8}$。

よって、逆方向に4だけまわす。

針の指す数字は、$6 - 4 = 2$ なので、$Y$ の値は 2 である。

3. 最終的な答え

(1) ア: 7, イ: 6, ウ: 12, エ: 4, オ: 13, カ: 4

(2) ⑦ キ: 2

イ. $a^2$目盛りだけ逆方向にまわすと、これは8で割ると余りが4なので、6の位置から4だけ逆方向に移動する。したがって、針の指す数字は2である。よって、$Y$の値は2である。