与えられたデータ$\{ (x_i, y_i) \}_{i=1}^6$ について、$x$ と $y$ の最頻値を仮平均として、共分散 $s_{xy}$ を求めます。データは以下の通りです。 | x | 165 | 163 | 166 | 166 | 168 | 162 | |---|---|---|---|---|---|---| | y | 54 | 49 | 55 | 58 | 45 | 45 |

1. 問題の内容

与えられたデータ$\{ (x_i, y_i) \}_{i=1}^6$ について、$x$ と $y$ の最頻値を仮平均として、共分散 $s_{xy}$ を求めます。データは以下の通りです。

| x | 165 | 163 | 166 | 166 | 168 | 162 |

|---|---|---|---|---|---|---|

| y | 54 | 49 | 55 | 58 | 45 | 45 |

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の最頻値を求めます。

$x$ のデータ: 165, 163, 166, 166, 168, 162。最頻値は166です。

$y$ のデータ: 54, 49, 55, 58, 45, 45。最頻値は45です。

したがって、仮平均をそれぞれ $x_0 = 166$、 $y_0 = 45$ とします。

次に、$x_i' = x_i - x_0$ と $y_i' = y_i - y_0$ を計算します。

| $x_i$ | 165 | 163 | 166 | 166 | 168 | 162 |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $x_i'$ | -1 | -3 | 0 | 0 | 2 | -4 |

| $y_i$ | 54 | 49 | 55 | 58 | 45 | 45 |

| $y_i'$ | 9 | 4 | 10 | 13 | 0 | 0 |

共分散 $s_{xy}$ は以下の式で計算できます。

$s_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$

ここで、仮平均を使用しているため、以下の式で計算します。

$s_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i')(y_i')$

今回の場合は、$n=6$ なので、

$s_{xy} = \frac{1}{6-1} [(-1)(9) + (-3)(4) + (0)(10) + (0)(13) + (2)(0) + (-4)(0)]$

$s_{xy} = \frac{1}{5} (-9 - 12 + 0 + 0 + 0 + 0)$

$s_{xy} = \frac{1}{5} (-21)$

$s_{xy} = -4.2$

3. 最終的な答え

$s_{xy} = -4.2$