画像の問題は、平方根の基本、根号を含む式の計算、近似値・式の値、平方根の利用に関する問題が出題されています。それぞれの問題について解答を求めます。
2025/7/16
1. 問題の内容
画像の問題は、平方根の基本、根号を含む式の計算、近似値・式の値、平方根の利用に関する問題が出題されています。それぞれの問題について解答を求めます。
2. 解き方の手順
(1) 平方根の基本
1. 144の平方根は、$12$と$-12$です。
2. 0.81の平方根は、$0.9$と$-0.9$です。
3. 13の平方根は、$\sqrt{13}$と$-\sqrt{13}$です。
(2) 根号の中をできるだけ小さくする
1. $\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$
2. $-\sqrt{216} = -\sqrt{36 \cdot 6} = -6\sqrt{6}$
3. $\sqrt{\frac{125}{16}} = \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{4} = \frac{5\sqrt{5}}{4}$
(3) 数の大小比較
1. $5$と$2\sqrt{7}$。 $5 = \sqrt{25}$, $2\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$。したがって、$5 < 2\sqrt{7}$
2. $-\sqrt{14}$と$-\sqrt{17}$。 負の数は絶対値が大きいほど小さいので、$-\sqrt{14} > -\sqrt{17}$
3. $\frac{1}{\sqrt{3}}$と$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$。したがって、$\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$
(4) 根号を含む式の計算
1. $\sqrt{38} \times \sqrt{2} = \sqrt{38 \times 2} = \sqrt{76} = \sqrt{4 \times 19} = 2\sqrt{19}$
2. $(-\sqrt{3}) \div \sqrt{27} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{27}} = -\sqrt{\frac{3}{27}} = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$
3. $4\sqrt{11} + 9\sqrt{11} = (4+9)\sqrt{11} = 13\sqrt{11}$
4. $\sqrt{90} - \sqrt{640} = \sqrt{9 \cdot 10} - \sqrt{64 \cdot 10} = 3\sqrt{10} - 8\sqrt{10} = -5\sqrt{10}$
5. $\sqrt{180} + 7\sqrt{5} - \sqrt{80} = \sqrt{36 \cdot 5} + 7\sqrt{5} - \sqrt{16 \cdot 5} = 6\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = (6+7-4)\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$
6. $6\sqrt{2} + \frac{48}{\sqrt{6}} - 5\sqrt{6} - \sqrt{8} = 6\sqrt{2} + \frac{48\sqrt{6}}{6} - 5\sqrt{6} - 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 8\sqrt{6} - 5\sqrt{6} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 3\sqrt{6}$
7. $(3+\sqrt{3}) + \sqrt{12}(5-\sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3} + 2\sqrt{3}(5-\sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3} + 10\sqrt{3} - 2\cdot3 = 3 + \sqrt{3} + 10\sqrt{3} - 6 = -3 + 11\sqrt{3}$
8. $(15-2\sqrt{5}) \div \sqrt{5} - (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-4) = \frac{15}{\sqrt{5}} - 2 - (5 - 4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 8) = 3\sqrt{5} - 2 - (-3 - 2\sqrt{5}) = 3\sqrt{5} - 2 + 3 + 2\sqrt{5} = 1 + 5\sqrt{5}$
(5) 近似値、式の値
1. $\sqrt{2} = 1.414$として
1. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} = 6 \times 1.414 = 8.484$
2. $\sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2} = 20 \times 1.414 = 28.28$
3. $\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} = 4 \times 1.414 = 5.656$
2. $x=4+\sqrt{7}, y=4-\sqrt{7}$のとき
1. $xy-4x = (4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7}) - 4(4+\sqrt{7}) = (16-7) - (16 + 4\sqrt{7}) = 9 - 16 - 4\sqrt{7} = -7 - 4\sqrt{7}$
2. $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = (4+\sqrt{7} + 4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7} - (4-\sqrt{7})) = (8)(2\sqrt{7}) = 16\sqrt{7}$
3. $2x^2 - 4xy + 2y^2 = 2(x^2 - 2xy + y^2) = 2(x-y)^2 = 2(4+\sqrt{7}-(4-\sqrt{7}))^2 = 2(2\sqrt{7})^2 = 2(4 \cdot 7) = 56$
(6) 平方根の利用
1. 正四角錐の体積は、$V = \frac{1}{3} \times A \times h$で与えられる。ここで、$V=69$ cm$^3$, $h=9$ cm。底面は正方形なので、$A = s^2$ （$s$は正方形の一辺の長さ）。
したがって、底面の一辺の長さは cm。
3. 最終的な答え
(1) 平方根の基本
1. $12, -12$
2. $0.9, -0.9$
3. $\sqrt{13}, -\sqrt{13}$
(2) 根号の中をできるだけ小さくする
1. $2\sqrt{15}$
2. $-6\sqrt{6}$
3. $\frac{5\sqrt{5}}{4}$
(3) 数の大小比較
1. $5 < 2\sqrt{7}$
2. $-\sqrt{14} > -\sqrt{17}$
3. $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$
(4) 根号を含む式の計算
1. $2\sqrt{19}$
2. $-\frac{1}{3}$
3. $13\sqrt{11}$
4. $-5\sqrt{10}$
5. $9\sqrt{5}$
6. $4\sqrt{2} + 3\sqrt{6}$
7. $-3 + 11\sqrt{3}$
8. $1 + 5\sqrt{5}$
(5) 近似値、式の値
1. $\sqrt{2} = 1.414$として
1. $8.484$
2. $28.28$
3. $5.656$
2. $x=4+\sqrt{7}, y=4-\sqrt{7}$のとき
1. $-7 - 4\sqrt{7}$
2. $16\sqrt{7}$
3. $56$
(6) 平方根の利用