0, 1, 2, 3, 4 の5個の数字を使い、同じ数字は1回しか使えないという条件のもとで、3桁の整数を作る。このとき、(1)偶数となるものの個数と、(2)3の倍数となるものの個数を求める。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4 の5個の数字を使い、同じ数字は1回しか使えないという条件のもとで、3桁の整数を作る。このとき、(1)偶数となるものの個数と、(2)3の倍数となるものの個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 偶数の場合:

3桁の整数が偶数となるためには、一の位が0, 2, 4 のいずれかである必要がある。

* 一の位が0の場合: 百の位は0以外の4通り、十の位は残りの3通り。よって、 $4 \times 3 = 12$ 通り。

* 一の位が2または4の場合: 一の位は2通り。百の位は0と一の位の数以外なので3通り。十の位は残りの3通り。よって、 $2 \times 3 \times 3 = 18$ 通り。

したがって、偶数の総数は $12 + 18 = 30$ 個。

(2) 3の倍数の場合:

3桁の整数が3の倍数となるためには、各位の数字の和が3の倍数である必要がある。使える数字は0, 1, 2, 3, 4。

3つの数字の和が3の倍数になる組み合わせは以下の通り。

* (0, 1, 2): 並べ方は $2 \times 2 \times 1 = 4$ 通り。

* (0, 2, 4): 並べ方は $2 \times 2 \times 1 = 4$ 通り。

* (1, 2, 3): 並べ方は $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

* (0, 3, 3)や(3,3,3)はない。(同じ数字は一回しか使えないから)

* (0, 3, 6) は６がないから使えない。

* (1, 3, 5) は５がないから使えない。

* (2, 3, 4): 並べ方は $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

* (0, 1, 2)の順列の総数は、最初の数字が0にならないように、$3! - 2! = 4$通り

* (1, 2, 3)の順列の総数は、$3! = 6$通り

* (2, 3, 4)の順列の総数は、$3! = 6$通り

* (0, 3, 0)

* (0, 2, 4)の順列の総数は、最初の数字が0にならないように、$3! - 2! = 4$通り

* (1, 2, 3)の順列の総数は、$3! = 6$通り

* (2, 3, 4)の順列の総数は、$3! = 6$通り

よって、3の倍数の総数は、$4 + 6 + 6 = 16$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 偶数: 30個

(2) 3の倍数: 30個

(1)偶数：30

(2)3の倍数：30

上記の解き方では3の倍数の組み合わせが間違っており、改めて考え直すと以下の通りになります。

(2) 3の倍数の場合:

3桁の整数が3の倍数となるためには、各位の数字の和が3の倍数である必要があります。使える数字は0, 1, 2, 3, 4。

3つの数字の和が3の倍数になる組み合わせは以下の通り。

各位の数字の和が3になる組み合わせ：

* 0+1+2

各位の数字の和が6になる組み合わせ：

* 0+2+4

* 1+2+3

各位の数字の和が9になる組み合わせ：

* 2+3+4

上記の組み合わせにおいて3桁の整数を作ると以下の様になります。

* 0, 1, 2：百の位は1か2なので2通り。十の位は残りの2通り。一の位は残りの1通り。 $2 \times 2 \times 1 = 4$ 通り。

* 0, 2, 4：百の位は2か4なので2通り。十の位は残りの2通り。一の位は残りの1通り。 $2 \times 2 \times 1 = 4$ 通り。

* 1, 2, 3：百の位は1,2,3のどれかなので3通り。十の位は残りの2通り。一の位は残りの1通り。 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

* 2, 3, 4：百の位は2,3,4のどれかなので3通り。十の位は残りの2通り。一の位は残りの1通り。 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

したがって、3の倍数の総数は $4 + 4 + 6 + 6 = 20$ 個。

最終的な答え

(1) 偶数: 30個

(2) 3の倍数: 20個