(1) 50以上90以下の自然数について、4の倍数、5の倍数、6の倍数の個数、4または5の倍数の個数、4または6の倍数の個数、4かつ5かつ6の倍数の個数を求める。 (2) 1から400までの自然数のうち、6の倍数であるが7の倍数でない自然数の個数を求める。

## 回答

1. 問題の内容

(1) 50以上90以下の自然数について、4の倍数、5の倍数、6の倍数の個数、4または5の倍数の個数、4または6の倍数の個数、4かつ5かつ6の倍数の個数を求める。

(2) 1から400までの自然数のうち、6の倍数であるが7の倍数でない自然数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 4の倍数：50以上90以下の4の倍数は、52, 56, 60, ..., 88, 92。したがって、$4n$が50以上90以下となるような整数$n$の個数を求める。

$50 \le 4n \le 90$ より、$12.5 \le n \le 22.5$となるため、$n=13, 14, ..., 22$。個数は$22 - 13 + 1 = 10$個。

* 5の倍数：50以上90以下の5の倍数は、50, 55, ..., 85, 90。したがって、$5n$が50以上90以下となるような整数$n$の個数を求める。

$50 \le 5n \le 90$ より、$10 \le n \le 18$となるため、$n=10, 11, ..., 18$。個数は$18 - 10 + 1 = 9$個。

* 6の倍数：50以上90以下の6の倍数は、54, 60, ..., 84, 90。したがって、$6n$が50以上90以下となるような整数$n$の個数を求める。

$50 \le 6n \le 90$ より、$8.33 \le n \le 15$となるため、$n=9, 10, ..., 15$。個数は$15 - 9 + 1 = 7$個。

* 4または5の倍数：4の倍数の個数と5の倍数の個数を足し、4と5の最小公倍数である20の倍数の個数を引く。50以上90以下の20の倍数は、60, 80の2個。したがって、$10 + 9 - 2 = 17$個。

* 4または6の倍数：4の倍数の個数と6の倍数の個数を足し、4と6の最小公倍数である12の倍数の個数を引く。50以上90以下の12の倍数は、60, 72, 84の3個。したがって、$10 + 7 - 3 = 14$個。

* 4かつ5かつ6の倍数：4, 5, 6の最小公倍数は60。50以上90以下の60の倍数は60の1個。

(2)

* 1から400までの6の倍数の個数を求める。$6n \le 400$より、$n \le \frac{400}{6} = 66.66...$なので、$n = 1, 2, ..., 66$。個数は66個。

* 1から400までの6の倍数かつ7の倍数の個数を求める。6と7の最小公倍数は42。$42n \le 400$より、$n \le \frac{400}{42} = 9.52...$なので、$n = 1, 2, ..., 9$。個数は9個。

* したがって、6の倍数であるが7の倍数でない自然数の個数は、$66 - 9 = 57$個。

3. 最終的な答え

(1)

4の倍数は 10 個

5の倍数は 9 個

6の倍数は 7 個

4または5の倍数は 17 個

4または6の倍数は 14 個

4かつ5かつ6の倍数は 1 個

(2)

6の倍数であるが7の倍数でない自然数は 57 個