2つの2次関数 $y = 3x^2 - 2x - 1$ (グラフを $G_1$とする) と $y = x^2 + 2ax + b$ (グラフを $G_2$とする) が与えられている。$G_2$の頂点が$G_1$上にあるという条件のもとで、$b$を$a$で表したり、$G_2$の頂点の座標の最小値を求めたり、$G_2$が点(0,5)を通る時の$a$の値を求めたりする問題である。

1. 問題の内容

2つの2次関数 $y = 3x^2 - 2x - 1$ (グラフを $G_1$とする) と $y = x^2 + 2ax + b$ (グラフを $G_2$とする) が与えられている。$G_2$の頂点が$G_1$上にあるという条件のもとで、$b$を$a$で表したり、$G_2$の頂点の座標の最小値を求めたり、$G_2$が点(0,5)を通る時の$a$の値を求めたりする問題である。

2. 解き方の手順

まず、$G_2$の式を平方完成する。

$y = x^2 + 2ax + b = (x+a)^2 - a^2 + b$

よって、$G_2$の頂点の座標は $(-a, -a^2 + b)$ である。

問題文より、$G_2$の頂点は $G_1$ 上にあるので、

$-a^2 + b = 3(-a)^2 - 2(-a) - 1$

$-a^2 + b = 3a^2 + 2a - 1$

$b = 4a^2 + 2a - 1$

よって、$G_2$ の頂点の座標は $(-a, -a^2 + 4a^2 + 2a - 1)$となり、$(-a, 3a^2 + 2a - 1)$となる。

(1) $G_2$の頂点のy座標 $3a^2 + 2a - 1$ について、最小値を考える。

$3a^2 + 2a - 1 = 3(a^2 + \frac{2}{3}a) - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{9}) - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = 3(a + \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$

よって、$a = -\frac{1}{3}$ のとき、最小値 $-\frac{4}{3}$ をとる。

$a = -\frac{1}{3}$ のとき、$G_2$ の軸は直線 $x = -a = \frac{1}{3}$ である。

$G_2$ の方程式は、$y = x^2 + 2(-\frac{1}{3})x + 4(-\frac{1}{3})^2 + 2(-\frac{1}{3}) - 1 = x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{2}{3} - 1 = x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{11}{9}$

$G_2$ と x 軸との交点のx座標は、$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{11}{9} = 0$ を解いて、$9x^2 - 6x - 11 = 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4*9*11}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 396}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{432}}{18} = \frac{6 \pm 12\sqrt{3}}{18} = \frac{1 \pm 2\sqrt{3}}{3}$

(2) $G_2$ が点(0,5) を通るとき、$5 = 0^2 + 2a(0) + b$ より、$b = 5$

$b = 4a^2 + 2a - 1$ に代入して、$5 = 4a^2 + 2a - 1$

$4a^2 + 2a - 6 = 0$

$2a^2 + a - 3 = 0$

$(2a + 3)(a - 1) = 0$

$a = 1, -\frac{3}{2}$

$a = 1$ のとき、$G_2$ を x軸方向に $-t$、y軸方向に $t$ だけ平行移動すると、

$y - t = (x + t)^2 + 2(1)(x+t) + 5$

$y = (x+t)^2 + 2(x+t) + 5 + t$

$y = x^2 + 2tx + t^2 + 2x + 2t + 5 + t = x^2 + 2(t+1)x + t^2 + 3t + 5$

この頂点が$G_1$上にある条件は、$b=t^2+3t+5 = 4(t+1)^2+2(t+1)-1$を満たすこと。

$t^2+3t+5 = 4(t^2+2t+1)+2t+2-1$

$t^2+3t+5 = 4t^2+8t+4+2t+1$

$0=3t^2+7t$

$0=t(3t+7)$

$t=0, -\frac{7}{3}$

$t$は$0$でない数なので、$t = -\frac{7}{3}$

よって、$a = 1$ のとき、$G_2$ を x軸方向に $\frac{7}{3}$、y軸方向に $-\frac{7}{3}$ だけ平行移動しても頂点は$G_1$上にある。

3. 最終的な答え

$b = 4a^2 + 2a - 1$

$G_2$の頂点の座標は $(-a, 3a^2 + 2a - 1)$

(1) $G_2$の頂点のy座標は、$a = -\frac{1}{3}$ のとき、最小値 $-\frac{4}{3}$ をとる。

$a = -\frac{1}{3}$ のとき、$G_2$の軸は直線 $x = \frac{1}{3}$ であり、$G_2$とx軸との交点のx座標は $\frac{1 \pm 2\sqrt{3}}{3}$ である。

(2) $G_2$が点(0,5) を通るとき、$a = 1, -\frac{3}{2}$ である。

$a = 1$ のとき、$G_2$をx軸方向に $\frac{7}{3}$、y軸方向に $-\frac{7}{3}$ だけ平行移動しても頂点は$G_1$上にある。