放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した後、直線 $x = 1$ に関して対称移動すると、放物線 $y = 2x^2 - 4$ に重なる。このとき、定数 $a, b, p$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した後、直線 $x = 1$ に関して対称移動すると、放物線 $y = 2x^2 - 4$ に重なる。このとき、定数 $a, b, p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動する。

移動後の放物線の方程式は

$y - p = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + 1$

$y = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + 1 + p$

$y = a(x^2 - 6x + 9) + b(x - 3) + 1 + p$

$y = ax^2 - 6ax + 9a + bx - 3b + 1 + p$

$y = ax^2 + (-6a + b)x + (9a - 3b + 1 + p)$

(2) (1)で求めた放物線を直線 $x = 1$ に関して対称移動する。

$x$ 軸方向に $-2x + 2$ だけ移動すると $x = 1$ に関して対称移動する。

$x$ を $-x + 2$ で置き換える。

$y = a(-x + 2)^2 + (-6a + b)(-x + 2) + (9a - 3b + 1 + p)$

$y = a(x^2 - 4x + 4) + (6a - b)x - 12a + 2b + 9a - 3b + 1 + p$

$y = ax^2 - 4ax + 4a + (6a - b)x - 3a - b + 1 + p$

$y = ax^2 + (2a - b)x + (a - b + 1 + p)$

(3) (2)で求めた放物線が $y = 2x^2 - 4$ と一致するから、係数を比較する。

$a = 2$

$2a - b = 0$

$a - b + 1 + p = -4$

(4) 上記の連立方程式を解く。

$a = 2$

$2(2) - b = 0$ より $b = 4$

$2 - 4 + 1 + p = -4$ より $-1 + p = -4$ よって $p = -3$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 4$, $p = -3$