与えられた問題は、以下の2つの不等式が成り立つことを示す問題です。 (1) $|x + y| \leq |x| + |y|$ (三角不等式) (2) $||x| - |y|| \leq |x - y|$

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の2つの不等式が成り立つことを示す問題です。

(1) $|x + y| \leq |x| + |y|$ (三角不等式)

(2) $||x| - |y|| \leq |x - y|$

2. 解き方の手順

(1) 三角不等式の証明

$|x + y| \leq |x| + |y|$ を証明します。

絶対値の定義より、$x$ と $y$ の符号に応じて以下の式が成り立ちます。

$-|x| \leq x \leq |x|$

$-|y| \leq y \leq |y|$

これらの不等式を足し合わせると、

$-|x| - |y| \leq x + y \leq |x| + |y|$

すなわち、

$-( |x| + |y| ) \leq x + y \leq |x| + |y|$

これは、

$|x+y| \leq |x| + |y|$

と同値です。

(2) $||x| - |y|| \leq |x - y|$ の証明

まず、$|x| = |x - y + y|$ と変形します。

三角不等式より、

$|x - y + y| \leq |x - y| + |y|$

よって、

$|x| \leq |x - y| + |y|$

$|x| - |y| \leq |x - y|$

同様に、$|y| = |y - x + x|$ と変形します。

三角不等式より、

$|y - x + x| \leq |y - x| + |x|$

よって、

$|y| \leq |y - x| + |x|$

$|y| - |x| \leq |y - x|$

$|y| - |x| = - ( |x| - |y| )$ であり、$|y - x| = |x - y|$ であるから、

$- ( |x| - |y| ) \leq |x - y|$

すなわち、

$|x| - |y| \geq - |x - y|$

以上より、

$- |x - y| \leq |x| - |y| \leq |x - y|$

これは、

$||x| - |y|| \leq |x - y|$

と同値です。

3. 最終的な答え

(1) $|x + y| \leq |x| + |y|$

(2) $||x| - |y|| \leq |x - y|$

どちらも証明されました。