ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ c \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2c \\ -5 \end{pmatrix}$, $a_4 = \begin{pmatrix} -c \\ -7 \\ 6 \end{pmatrix}$ が与えられています。これらのベクトルが生成する部分空間の次元が2となるような $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ c \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2c \\ -5 \end{pmatrix}$, $a_4 = \begin{pmatrix} -c \\ -7 \\ 6 \end{pmatrix}$ が与えられています。これらのベクトルが生成する部分空間の次元が2となるような $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_1$と$a_2$が一次独立であることを確認します。

$a_1$と$a_2$が一次独立であるためには、あるスカラー$k$が存在して$a_2 = k a_1$となることがないことが必要です。明らかに、$a_2$の最初の成分は$a_1$の最初の成分の2倍ですが、$a_2$の2番目の成分は$a_1$の2番目の成分の2倍ではありません。したがって、$a_1$と$a_2$は一次独立です。

部分空間の次元が2であるためには、$a_3$と$a_4$が$a_1$と$a_2$の線形結合で表される必要があります。つまり、

$a_3 = s a_1 + t a_2$

$a_4 = u a_1 + v a_2$

となるスカラー $s, t, u, v$ が存在する必要があります。

$a_3 = s a_1 + t a_2$ から、

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2c \\ -5 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ c \end{pmatrix}$

したがって、

$1 = s + 2t$

$2c = 2s + 5t$

$-5 = 3s + ct$

最初の式から $s = 1 - 2t$ を得ます。これを2番目の式に代入すると、

$2c = 2(1 - 2t) + 5t = 2 - 4t + 5t = 2 + t$

$t = 2c - 2$

$s = 1 - 2(2c - 2) = 1 - 4c + 4 = 5 - 4c$

これらを3番目の式に代入します。

$-5 = 3(5 - 4c) + c(2c - 2) = 15 - 12c + 2c^2 - 2c = 2c^2 - 14c + 15$

$2c^2 - 14c + 20 = 0$

$c^2 - 7c + 10 = 0$

$(c - 2)(c - 5) = 0$

$c = 2$ または $c = 5$

$a_4 = u a_1 + v a_2$ から、

$\begin{pmatrix} -c \\ -7 \\ 6 \end{pmatrix} = u \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ c \end{pmatrix}$

したがって、

$-c = u + 2v$

$-7 = 2u + 5v$

$6 = 3u + cv$

$c=2$ の場合：

$-2 = u + 2v$

$-7 = 2u + 5v$

$6 = 3u + 2v$

最初の式から $u = -2 - 2v$ を得ます。これを2番目の式に代入すると、

$-7 = 2(-2 - 2v) + 5v = -4 - 4v + 5v = -4 + v$

$v = -3$

$u = -2 - 2(-3) = -2 + 6 = 4$

これらを3番目の式に代入します。

$6 = 3(4) + 2(-3) = 12 - 6 = 6$

これは成り立ちます。

$c=5$ の場合：

$-5 = u + 2v$

$-7 = 2u + 5v$

$6 = 3u + 5v$

最初の式から $u = -5 - 2v$ を得ます。これを2番目の式に代入すると、

$-7 = 2(-5 - 2v) + 5v = -10 - 4v + 5v = -10 + v$

$v = 3$

$u = -5 - 2(3) = -5 - 6 = -11$

これらを3番目の式に代入します。

$6 = 3(-11) + 5(3) = -33 + 15 = -18$

これは成り立ちません。

したがって、$c = 2$ のみが条件を満たします。

3. 最終的な答え

c = 2