与えられた3x3行列の行列式の値を求めます。問題文には、「転置行列で表し、転置行列の行列式の性質を用いて」とありますが、行列式を求めるだけなので、転置行列を用いる必要はありません。行列式を直接計算します。対象の行列は $ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -9 & -4 & 1 \\ 8 & 7 & 5 \end{pmatrix} $ です。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式の値を求めます。問題文には、「転置行列で表し、転置行列の行列式の性質を用いて」とありますが、行列式を求めるだけなので、転置行列を用いる必要はありません。行列式を直接計算します。対象の行列は

$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -9 & -4 & 1 \\ 8 & 7 & 5 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

行列式を計算するには、サラスの公式を用いるか、行や列に関する余因子展開を行います。ここでは、第一行に0が多く含まれているため、第一行に関する余因子展開を用いるのが計算が楽です。

行列式を $|A|$ と書くと、

$|A| = 3 \cdot \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 7 & 5 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} -9 & 1 \\ 8 & 5 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -9 & -4 \\ 8 & 7 \end{vmatrix}$

$= 3 \cdot ((-4) \cdot 5 - 1 \cdot 7) - 0 + 0$

$= 3 \cdot (-20 - 7)$

$= 3 \cdot (-27)$

3. 最終的な答え

行列式の値は $3 \cdot (-27) = -81$ です。

最終的な答え：-81