与えられた連立方程式を行列を用いて解く問題と、与えられた2つの条件を満たす行列が存在するかどうかを調べる問題の2つがあります。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を行列を用いて解く問題と、与えられた2つの条件を満たす行列が存在するかどうかを調べる問題の2つがあります。

2. 解き方の手順

(1) 連立方程式 $\begin{cases} x+y=4 \\ x-y=2 \end{cases}$ を行列を用いて解く。

まず、連立方程式を行列で表すと、

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}$

となる。

左から $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ の逆行列をかけることで、

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ の逆行列は、$\frac{1}{1*(-1)-1*1}\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ となるので、

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}$

$= -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -4-2 \\ -4+2 \end{bmatrix}$

$= -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -6 \\ -2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

よって、$x=3$, $y=1$

(2) 点 $\begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix}$ に移し、かつ点 $\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ に移すような行列 $A = \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}$ が存在するかどうかを調べる。

もし存在する場合は具体的に求め、そうでない場合は理由を述べる。

$\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix}$ より、$\begin{cases} -4x + 5y = -1 \\ -4z + 5w = -1 \end{cases}$

$\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ より、$\begin{cases} 5x + 2y = 2 \\ 5z + 2w = 3 \end{cases}$

$x, y$ についての方程式と $z, w$ についての方程式はそれぞれ独立なので、$x, y$ についての方程式を解けば、$A$ が存在するかどうか分かる。

$\begin{cases} -4x + 5y = -1 \\ 5x + 2y = 2 \end{cases}$

$\begin{cases} -20x + 25y = -5 \\ 20x + 8y = 8 \end{cases}$

$33y = 3$

$y = \frac{3}{33} = \frac{1}{11}$

$-4x + 5*\frac{1}{11} = -1$

$-4x = -1 - \frac{5}{11} = -\frac{16}{11}$

$x = \frac{4}{11}$

同様に、

$\begin{cases} -4z + 5w = -1 \\ 5z + 2w = 3 \end{cases}$

$\begin{cases} -8z + 10w = -2 \\ 25z + 10w = 15 \end{cases}$

$33z = 17$

$z = \frac{17}{33}$

$-4*\frac{17}{33} + 5w = -1$

$5w = -1 + \frac{68}{33} = \frac{35}{33}$

$w = \frac{7}{33}$

したがって、$x = \frac{4}{11}, y = \frac{1}{11}, z = \frac{17}{33}, w = \frac{7}{33}$ が求まるので、$A$ は一意的に存在する。

3. 最終的な答え

(1) $x=3$, $y=1$

(2) 行列 $A$ は一意的に存在し、$A = \begin{bmatrix} \frac{4}{11} & \frac{1}{11} \\ \frac{17}{33} & \frac{7}{33} \end{bmatrix}$