$n$ を自然数とする。2つの数 $x, y$ の和 $x+y$ と積 $xy$ が整数であるとき、$x^n + y^n$ が整数であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とする。2つの数 $x, y$ の和 $x+y$ と積 $xy$ が整数であるとき、$x^n + y^n$ が整数であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $n=1$ のとき: $x^1 + y^1 = x+y$ である。仮定より、$x+y$ は整数であるから、$n=1$ のとき成り立つ。

(2) $n=2$ のとき: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ である。仮定より、$x+y$ と $xy$ は整数であるから、$(x+y)^2$ と $2xy$ も整数である。したがって、$x^2+y^2$ は整数であるから、$n=2$ のとき成り立つ。

(3) $n=k, k+1$ ($k$ はある自然数) のとき、$x^k + y^k$ と $x^{k+1} + y^{k+1}$ が整数であると仮定する。

$n=k+2$ のとき、$x^{k+2} + y^{k+2}$ が整数であることを示す。

恒等式

$$(x^{k+1} + y^{k+1})(x+y) = x^{k+2} + y^{k+2} + xy(x^k + y^k)$$

を変形すると、

$$x^{k+2} + y^{k+2} = (x^{k+1} + y^{k+1})(x+y) - xy(x^k + y^k)$$

となる。

仮定より、$x^{k+1} + y^{k+1}$ は整数、$x+y$ は整数、$xy$ は整数、$x^k + y^k$ は整数である。したがって、$(x^{k+1} + y^{k+1})(x+y)$ と $xy(x^k + y^k)$ は整数であるから、$x^{k+2} + y^{k+2}$ も整数である。

(1), (2), (3) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ に対して、$x^n + y^n$ は整数であることが証明された。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$x^n + y^n$ は整数である。