$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ とする。変換 $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ を $f(x) = a \times x$, $x \in \mathbb{R}^3$ で定義する。ここで、$\times$ は $\mathbb{R}^3$ の外積を表す。 (1) $f$ が $\mathbb{R}^3$ の線形変換であることを示し、 (2) $\mathbb{R}^3$ の標準基底 $\{e_1, e_2, e_3\}$ に関する $f$ の表現行列を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ とする。変換 $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ を $f(x) = a \times x$, $x \in \mathbb{R}^3$ で定義する。ここで、$\times$ は $\mathbb{R}^3$ の外積を表す。

(1) $f$ が $\mathbb{R}^3$ の線形変換であることを示し、

(2) $\mathbb{R}^3$ の標準基底 $\{e_1, e_2, e_3\}$ に関する $f$ の表現行列を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f$ が線形変換であることの証明

線形変換の定義は、任意のベクトル $x, y \in \mathbb{R}^3$ と任意のスカラー $c \in \mathbb{R}$ に対して、

(i) $f(x + y) = f(x) + f(y)$

(ii) $f(cx) = cf(x)$

が成り立つことである。

(i) $f(x+y) = a \times (x+y)$

外積の性質より、$a \times (x+y) = a \times x + a \times y = f(x) + f(y)$

(ii) $f(cx) = a \times (cx)$

外積の性質より、$a \times (cx) = c(a \times x) = cf(x)$

したがって、$f$ は線形変換である。

(2) $f$ の表現行列を求める

標準基底 $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ について、$f(e_1)$, $f(e_2)$, $f(e_3)$ を計算する。

$f(e_1) = a \times e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

$f(e_2) = a \times e_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$f(e_3) = a \times e_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

これらのベクトルを列ベクトルとする行列が、$f$ の表現行列 $A$ である。

$A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$f$ は線形変換である。

$f$ の表現行列は

$\begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$