問題は3つあります。 1. $(x+2y)(x^2-2xy+3y^2)$ を展開して計算する。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

1. $(x+2y)(x^2-2xy+3y^2)$ を展開して計算する。

2. $a^2+b^2+4c^2+2ab+4bc+4ca$ を因数分解する。

3. $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ を計算し、分母を有理化する。

2. 解き方の手順

問題1: 展開して計算

$(x+2y)(x^2-2xy+3y^2)$ を展開します。

$x(x^2-2xy+3y^2) + 2y(x^2-2xy+3y^2)$

$=x^3-2x^2y+3xy^2+2x^2y-4xy^2+6y^3$

$=x^3-xy^2+6y^3$

問題2: 因数分解

$a^2+b^2+4c^2+2ab+4bc+4ca$ を因数分解します。

これは $(a+b+2c)^2$ の展開式に一致します。

$(a+b+2c)^2 = (a+b+2c)(a+b+2c)$

$= a^2+ab+2ac+ba+b^2+2bc+2ca+2cb+4c^2$

$= a^2+b^2+4c^2+2ab+4bc+4ca$

問題3: 式の計算と分母の有理化

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ を計算します。

まず、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(3+\sqrt{3})}{2} = 3+\sqrt{3}$

したがって、

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = (\sqrt{5}+\sqrt{3}) - (3+\sqrt{3}) = \sqrt{5}+\sqrt{3}-3-\sqrt{3} = \sqrt{5}-3$

3. 最終的な答え

問題1: $x^3-xy^2+6y^3$

問題2: $(a+b+2c)^2$

問題3: $\sqrt{5}-3$