(1) 3点(1,4), (-1,-2), (-2, 1)を通る放物線の方程式を求める。 (2) $y = 2x^2 - 8x + 3$ (定義域 $0 \le x \le a$, $a$は正の定数)について、以下の問いに答える。 (i) グラフの軸を求める。 (ii) 最小値を、$0 < a < 2$ のときと $2 \le a$ のときでそれぞれ求める。 (iii) 最大値を、$0 < a < 4$ のとき、$a = 4$ のとき、$4 < a$ のときでそれぞれ求める。 (3) 2次不等式 $m(x+2) > -(x^2 + 2x + 1)$ の解がすべての実数であるような、$m$の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 3点(1,4), (-1,-2), (-2, 1)を通る放物線の方程式を求める。

(2) $y = 2x^2 - 8x + 3$ (定義域 $0 \le x \le a$, $a$は正の定数)について、以下の問いに答える。

(i) グラフの軸を求める。

(ii) 最小値を、$0 < a < 2$ のときと $2 \le a$ のときでそれぞれ求める。

(iii) 最大値を、$0 < a < 4$ のとき、$a = 4$ のとき、$4 < a$ のときでそれぞれ求める。

(3) 2次不等式 $m(x+2) > -(x^2 + 2x + 1)$ の解がすべての実数であるような、$m$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 求める放物線を $y = Ax^2 + Bx + C$ とおく。3点の座標を代入して連立方程式を解く。

$A + B + C = 4$

$A - B + C = -2$

$4A - 2B + C = 1$

1式目と2式目より、$2B = 6$ よって $B = 3$

$A + C = 1$

$4A - 6 + C = 1$ より、$4A + C = 7$

$3A = 6$ より、$A = 2$

$C = -1$

よって、$y = 2x^2 + 3x - 1$

(2) $y = 2x^2 - 8x + 3 = 2(x^2 - 4x) + 3 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3 = 2(x - 2)^2 - 5$

(i) 軸は $x = 2$

(ii) 最小値について:

$0 < a < 2$ のとき、定義域 $0 \le x \le a$ において、$x = a$ で最小値をとる。

$y = 2a^2 - 8a + 3$

$2 \le a$ のとき、定義域 $0 \le x \le a$ において、$x = 2$ で最小値をとる。

$y = -5$

(iii) 最大値について:

$0 < a < 4$ のとき、$x = 0$ で最大値 $3$ をとる。

$a = 4$ のとき、$x = 0$ で最大値 $3$ をとる。$x = 4$ で最大値 $2(4-2)^2 - 5 = 8 - 5 = 3$をとる。

$4 < a$ のとき、$x = a$ で最大値 $2a^2 - 8a + 3$ をとる。

(3) $m(x+2) > -(x^2 + 2x + 1)$

$mx + 2m > -x^2 - 2x - 1$

$x^2 + (m+2)x + (2m+1) > 0$

この不等式がすべての実数$x$で成り立つためには、判別式 $D < 0$ である必要がある。

$D = (m+2)^2 - 4(2m+1) = m^2 + 4m + 4 - 8m - 4 = m^2 - 4m = m(m-4) < 0$

よって、$0 < m < 4$

3. 最終的な答え

[1] ア: 2, イ: 3, ウ: 1

[2] (1) エ: 4

(2) (i) オ: 7, カ: 9

(ii) キ: 2, ク: 6

(3) (i) ケ: 0, コ: 3

(ii) サ: 0, シ: 4, ス: 3

(iii) セ: 7, ソ: 9

[3] タ: 0, チ: 4