$n \times n$ の行列式を求めよ。この行列は対角成分が $x$ で、それ以外の成分が $1$ である。ヒントとして、(1,1)成分を $x=1 + (x-1)$ として分解し、多重線形性を用いることが推奨されている。

1. 問題の内容

$n \times n$ の行列式を求めよ。この行列は対角成分が $x$ で、それ以外の成分が $1$ である。ヒントとして、(1,1)成分を $x=1 + (x-1)$ として分解し、多重線形性を用いることが推奨されている。

2. 解き方の手順

与えられた行列を $A$ とする。つまり、

$A = \begin{pmatrix}

x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & x & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 1 & x & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & 1 & 1 & \cdots & x

\end{pmatrix}$

(1,1)成分を $x = 1 + (x-1)$ と分解し、多重線形性を用いる。行列式を2つの行列式の和に分解する。

$det(A) = \begin{vmatrix}

1+(x-1) & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & x & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 1 & x & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & 1 & 1 & \cdots & x

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & x & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 1 & x & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & 1 & 1 & \cdots & x

\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}

x-1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & x-1 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & 0 & x-1 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & \cdots & x-1

\end{vmatrix}$

1つ目の行列式から、2行目以降から1行目を引く。

$\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & x-1 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & 0 & x-1 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & \cdots & x-1

\end{vmatrix} = (x-1)^{n-1}$

$det(A) = \begin{vmatrix}

x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & x & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 1 & x & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & 1 & 1 & \cdots & x

\end{vmatrix} $

この行列の各行を全て足すと、各列は $x + (n-1)$ となる。 よって、全ての行を足し合わせると、$(x+(n-1),x+(n-1),\dots,x+(n-1))$となり、多重線形性より、$det(A)$ は $x + (n-1)$ を因数に持つ。

$x = 1$とすると、すべての要素が1となる。よって、det(A) = 0。

ここで$A = J$を全ての要素が1の行列とすると、$det(J) = 0$。

$det(A) = det((x-1)I + J)$ を計算する。

$det(A) = (x-1)^n det(I + \frac{1}{x-1} J) = (x-1)^n (1 + \frac{1}{x-1} tr(J)) = (x-1)^n(1 + \frac{n}{x-1}) = (x-1)^n + n(x-1)^{n-1} = (x-1)^{n-1}(x-1+n) = (x-1)^{n-1}(x+n-1)$

3. 最終的な答え

$(x+n-1)(x-1)^{n-1}$