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与えられた置換の積を計算する問題です。具体的には、 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ (3) $(13)(23)(24)$ (4) $(14)(23)(1243)(23)$

代数学置換群論置換の積
2025/7/27

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算する問題です。具体的には、
(1) (123312)(123312)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}
(2) (12343421)(12342143)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}
(3) (13)(23)(24)(13)(23)(24)
(4) (14)(23)(1243)(23)(14)(23)(1243)(23)

2. 解き方の手順

(1)
まず、右側の置換を適用し、次に左側の置換を適用します。
1→3→21 \rightarrow 3 \rightarrow 2
2→1→32 \rightarrow 1 \rightarrow 3
3→2→13 \rightarrow 2 \rightarrow 1
したがって、
(123312)(123312)=(123231)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}
(2)
まず、右側の置換を適用し、次に左側の置換を適用します。
1→2→41 \rightarrow 2 \rightarrow 4
2→1→32 \rightarrow 1 \rightarrow 3
3→4→13 \rightarrow 4 \rightarrow 1
4→3→24 \rightarrow 3 \rightarrow 2
したがって、
(12343421)(12342143)=(12344312)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}
(3)
置換を右から順に適用していきます。
(24)(24) は 2 を 4 に、4 を 2 に写します。
(23)(23) は 2 を 3 に、3 を 2 に写します。
(13)(13) は 1 を 3 に、3 を 1 に写します。
1→1→1→31 \rightarrow 1 \rightarrow 1 \rightarrow 3
2→2→3→22 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 2
3→3→2→13 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1
4→4→4→44 \rightarrow 4 \rightarrow 4 \rightarrow 4
したがって、
(13)(23)(24)=(12343214)=(13)(13)(23)(24) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (13)
(4)
置換を右から順に適用していきます。
(23)(23) は 2 を 3 に、3 を 2 に写します。
(1243)(1243) は 1 を 2 に、2 を 4 に、4 を 3 に、3 を 1 に写します。
(23)(23) は 2 を 3 に、3 を 2 に写します。
(14)(14) は 1 を 4 に、4 を 1 に写します。
1→1→2→2→41 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 2 \rightarrow 4
2→3→3→2→22 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2
3→2→4→4→43 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 4 \rightarrow 4
4→4→1→1→14 \rightarrow 4 \rightarrow 1 \rightarrow 1 \rightarrow 1
したがって、
(14)(23)(1243)(23)=(12344241)(14)(23)(1243)(23) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}
これは正しい置換ではありません. なぜなら３と4はどちらも同じ要素4に写像されるからです.
(23)(23) は 2 を 3 に、3 を 2 に写します。
(1243)(1243) は 1 を 2 に、2 を 4 に、4 を 3 に、3 を 1 に写します。
(23)(23) は 2 を 3 に、3 を 2 に写します。
(14)(14) は 1 を 4 に、4 を 1 に写します。
1→1→2→3→3→41 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 4
2→3→4→4→2→22 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 2
3→2→3→1→1→13 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 1 \rightarrow 1
4→4→1→2→3→34 \rightarrow 4 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 3
したがって、
(14)(23)(1243)(23)=(12344213)(14)(23)(1243)(23) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

(1) (123231)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}
(2) (12344312)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}
(3) (12343214)=(13)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (13)
(4) (12344213)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}

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