不等式 $a^2 - 6ab + 10b^2 \geq 0$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 - 6ab + 10b^2 \geq 0$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の左辺を変形します。平方完成を利用して、$a$に関する二次式として考えます。

$a^2 - 6ab + 10b^2 = a^2 - 6ab + (9b^2 - 9b^2) + 10b^2 = (a^2 - 6ab + 9b^2) + b^2 = (a - 3b)^2 + b^2$

したがって、

$(a - 3b)^2 + b^2 \geq 0$

$(a-3b)^2$ は実数の二乗なので、$0$ 以上です。

$b^2$ も実数の二乗なので、$0$ 以上です。

したがって、$(a-3b)^2 + b^2$ は、$0$ 以上の数同士の和なので、$0$ 以上となります。

これで、$a^2 - 6ab + 10b^2 \geq 0$ が証明されました。

次に、等号が成り立つ場合を調べます。

等号が成り立つのは、$(a - 3b)^2 + b^2 = 0$ のときです。

$(a-3b)^2 \geq 0$ かつ $b^2 \geq 0$ であるから、$(a - 3b)^2 = 0$ かつ $b^2 = 0$ でなければなりません。

$b^2 = 0$ より、$b = 0$ となります。

$a - 3b = 0$ に $b = 0$ を代入すると、$a - 3(0) = 0$ より、$a = 0$ となります。

したがって、等号が成り立つのは、$a = 0$ かつ $b = 0$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 - 6ab + 10b^2 \geq 0$ は証明された。

等号が成り立つのは、$a = 0$ かつ $b = 0$ のときである。