与えられた2次関数 $y = 3x^2 - 8x + a$ について、 (5) $a=1$ のときの $y$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める。 (6) $-3 \le x \le 2$ における $y$ の最大値が $60$ であるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 3x^2 - 8x + a$ について、

(5) $a=1$ のときの $y$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める。

(6) $-3 \le x \le 2$ における $y$ の最大値が $60$ であるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(5) $a = 1$ のとき、$y = 3x^2 - 8x + 1$ である。

まず、平方完成を行う。

$y = 3(x^2 - \frac{8}{3}x) + 1$

$y = 3(x - \frac{4}{3})^2 - 3(\frac{4}{3})^2 + 1$

$y = 3(x - \frac{4}{3})^2 - 3 \cdot \frac{16}{9} + 1$

$y = 3(x - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{3} + \frac{3}{3}$

$y = 3(x - \frac{4}{3})^2 - \frac{13}{3}$

頂点の座標は $(\frac{4}{3}, -\frac{13}{3})$ であり、下に凸の放物線であるため、最小値は $-\frac{13}{3}$ である。

そのときの $x$ の値は $\frac{4}{3}$ である。

(6) $y = 3x^2 - 8x + a$ について、$-3 \le x \le 2$ における最大値を考える。

平方完成すると、 $y = 3(x - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{3} + a$ となる。

頂点の $x$ 座標は $\frac{4}{3}$ であり、$-3 \le x \le 2$ の範囲に含まれる。

この範囲において、$x = -3$ のときに $y$ は最大値をとる。

$y = 3(-3)^2 - 8(-3) + a = 27 + 24 + a = 51 + a$

最大値が $60$ であるから、$51 + a = 60$。

よって、$a = 60 - 51 = 9$。

3. 最終的な答え

(5) 最小値: $-\frac{13}{3}$, そのときの $x$ の値: $\frac{4}{3}$

(6) $a = 9$