与えられた置換の積を計算し、その結果を巡回置換の積に分解する問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ を計算し、巡回置換の積に分解する。 (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ を計算し、巡回置換の積に分解する。 また、 (3) (1 3) (2 3) (2 4) (4) (1 4) (2 3) (1 2 4 3) (2 3) を計算し、巡回置換の積に分解する。

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算し、その結果を巡回置換の積に分解する問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

を計算し、巡回置換の積に分解する。

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

を計算し、巡回置換の積に分解する。

また、

(3) (1 3) (2 3) (2 4)

(4) (1 4) (2 3) (1 2 4 3) (2 3)

を計算し、巡回置換の積に分解する。

2. 解き方の手順

置換の積は、右側の置換から適用します。巡回置換の積への分解は、各要素がどのように写像されるかを追跡し、サイクルを構築することで行います。

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1 -> 3, 3 -> 2, 2 -> 1なので、巡回置換は(1 3 2)です。

(2)

まず置換の積を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

1 -> 1, 2 -> 2, 3 -> 4, 4 -> 3なので、巡回置換は(3 4)です。

(3)

(1 3) (2 3) (2 4)

まず右から計算します。(2 3)(2 4)は、2->4, 4->2, 3->3, 1->1なので、

(2 3)(2 4) = (2 4 3)

次に (1 3) (2 4 3)を計算します。

1 -> 3 -> 2, 2 -> 4 -> 4, 3 -> 2 -> 3, 4 -> 3 -> 1なので、

(1 3) (2 4 3) = (1 2 4)

(4)

(1 4) (2 3) (1 2 4 3) (2 3)

(2 3)(1 2 4 3)(2 3)

(1 2 4 3)(2 3) = (1 2 4)(2 3) = (1 2 4)(2 3)

まず(1 2 4 3)(2 3)を計算します。

1->2->2, 2->4->3, 3->1->1, 4->3->4

したがって、

(1 2 4 3)(2 3) = (1 2 3 4)

次に(1 4)(2 3) (1 2 4 3)(2 3) = (1 4)(2 3)(1 2 3 4)

= (1 4)(1 2 3 4)(2 3) = (1 2 3)(2 3)=(1 2)(1 3)

計算し直します。

(1 4) (2 3) (1 2 4 3) (2 3) = (1 4) (1 2 4 3)

1->2->2, 2->4, 3->3, 4->3->1 = (1 2 4)

3. 最終的な答え

(1) (1 3 2)

(2) (3 4)

(3) (1 2 4)

(4) (1 2 4)