不等式 $\frac{9}{a^2} + a^2 \geq 6$ が成り立つことを、相加平均と相乗平均の関係を用いて証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。ただし、$a \neq 0$ とします。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{9}{a^2} + a^2 \geq 6$ が成り立つことを、相加平均と相乗平均の関係を用いて証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。ただし、$a \neq 0$ とします。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係より、2つの正の数 $x, y$ について、以下の不等式が成り立ちます。

$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$

等号が成り立つのは $x=y$ のときです。

$x = \frac{9}{a^2}$, $y = a^2$ とおくと、$a \neq 0$ より $x, y > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係が適用できます。

$\frac{\frac{9}{a^2} + a^2}{2} \geq \sqrt{\frac{9}{a^2} \cdot a^2}$

$\frac{\frac{9}{a^2} + a^2}{2} \geq \sqrt{9}$

$\frac{\frac{9}{a^2} + a^2}{2} \geq 3$

両辺に2をかけると、

$\frac{9}{a^2} + a^2 \geq 6$

よって、不等式 $\frac{9}{a^2} + a^2 \geq 6$ が成り立つことが証明できました。

等号が成り立つのは、$\frac{9}{a^2} = a^2$ のときです。

$\frac{9}{a^2} = a^2$

$a^4 = 9$

$a^2 = 3$ （$a$は実数なので、$a^2$ は正）

$a = \pm \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{9}{a^2} + a^2 \geq 6$ は、相加平均と相乗平均の関係より成り立つ。

等号が成り立つのは $a = \pm \sqrt{3}$ のとき。